Οι αριθμοί είναι κατασκευή του ανθρώπινου μυαλού Γεννήθηκαν από το μυαλό μας ή προϋπήρχαν;

4
152

Λαλίνα Φαφούτη

 

Η διαμάχη αυτή είναι πολύ παλιά, ανάγεται στην αρχαιότητα και ίσως ακόμη πιο πέρα. Οι αριθμητικοί υπολογισμοί και τα Μαθηματικά έχουν μια ιστορία εκατοντάδων χιλιάδων ετών στον πολιτισμό μας και πρόσφατα οι νευροβιολόγοι απέδειξαν ότι η αίσθηση των αριθμών είναι έμφυτη, εγγεγραμμένη βαθιά στον εγκέφαλο όχι μόνο των ανθρώπων αλλά και πολλών ζώων. Τι ακριβώς είναι όμως αυτοί καθεαυτοί οι αριθμοί; Αποτελούν μια ανθρώπινη επινόηση ή ξεχωριστές υπαρκτές οντότητες, τις οποίες ο άνθρωπος απλώς ανακάλυψε;

Η απάντηση στο ερώτημα αυτό αγγίζει τη μεταφυσική και απασχολεί τους φιλοσόφους τουλάχιστον από την εποχή του Πυθαγόρα. Ο συρακούσιος μαθηματικός πίστευε ότι οι αριθμοί αποτελούν την έκφραση του Σύμπαντος και οι ιδέες του βρήκαν απήχηση στη φιλοσοφία του Πλάτωνα και του ιδεατού κόσμου του, στον οποίο τα μαθηματικά αντικείμενα συνιστούν ένα απολύτως συνεκτικό σύμπαν, το οποίο παραπέμπει σε μια τέλεια πραγματικότητα ανεξάρτητη από τον άνθρωπο. Από τις ιδέες του Πλάτωνα γεννήθηκε η σύγχρονη σχολή του μαθηματικού ρεαλισμού, η οποία πρεσβεύει ότι οι μαθηματικές οντότητες δεν πηγάζουν από το ανθρώπινο μυαλό, αλλά υπάρχουν ανεξάρτητα από αυτό.

Η θεωρία αυτή συμβαδίζει απόλυτα με την καθημερινή πρακτική των μαθηματικών: όσοι έχουν ασχοληθεί με αυτή την επιστήμη, προχωρώντας στο έργο τους έχουν πάντοτε την εντύπωση ότι ανακαλύπτουν αλήθειες οι οποίες προϋπήρχαν του συλλογισμού τους. Η εντύπωση αυτή ενισχύεται από το γεγονός ότι τα μαθηματικά φαίνεται να διέπουν όλη τη λειτουργία του κόσμου. Ολα τα φυσικά φαινόμενα, από την απλή δύναμη της βαρύτητας ως τις κβαντικές αφαιρέσεις, τον ηλεκτρομαγνητισμό και τις κινήσεις των άστρων, υπακούουν σε μαθηματικούς νόμους.

Μία ακόμα διαπίστωση που συνηγορεί υπέρ του μαθηματικού ρεαλισμού είναι το γεγονός ότι τα μαθηματικά υπάρχουν, ίδια και αναλλοίωτα, σε όλα τα μήκη και πλάτη της Γης και σε όλους τους πολιτισμούς. Το «δύο συν δύο» ισούται με «τέσσερα» για όλους τους ανθρώπους και, ακόμα και όταν μιλούν διαφορετικές γλώσσες και δεν μπορούν να συνεννοηθούν μεταξύ τους με λέξεις, μπορούν να καταλάβουν ο ένας τον άλλον μέσω των μαθηματικών.

Η «πλατωνική» σχολή του μαθηματικού ρεαλισμού συνάντησε ισχυρό αντίλογο στα τέλη του 19ου αιώνα με την εμφάνιση των μη Ευκλείδειων Γεωμετριών. Υπερβαίνοντας το Πέμπτο Θεώρημα του Ευκλείδη, οι μαθηματικοί ανακάλυψαν καινούργιους ιδεατούς κόσμους, οι οποίοι αν και δεν ανταποκρίνονταν στις ως τότε διαδεδομένες αντιλήψεις και έρχονταν σε αντίθεση με την αίσθηση που έχουμε για τα πράγματα, είχαν παρ’ όλα αυτά νόημα και απόλυτη συνοχή. Αυτές οι νέες μαθηματικές οντότητες φαίνονταν να εξαρτώνται από αυθαίρετους κανόνες, οι οποίοι διατυπώνονται εκ των προτέρων. Αυτό, υποστήριξαν οι αντίπαλοι του μαθηματικού ρεαλισμού, σημαίνει ότι τα μαθηματικά δεν έχουν δική τους, ανεξάρτητη και αυθύπαρκτη υπόσταση, αλλά γεννιούνται από το ανθρώπινο μυαλό.

Η διαμάχη δεν λύθηκε φυσικά με αυτές τις ανακαλύψεις ενώ, προς χαρά των ρεαλιστών, σύντομα αποκαλύφθηκε ότι οι νέες, αφηρημένες μαθηματικές κατασκευές που αρχικά φαίνονταν να μην είναι τόσο πραγματικές, εκφράζονταν τελικά μέσα σε μια φυσική πραγματικότητα, αφού χρησιμοποιήθηκαν ως βάση για τη διατύπωση της Θεωρίας της Γενικής Σχετικότητας του Αϊνστάιν και την περιγραφή της δύναμης της βαρύτητας. Οι δύο πλευρές δεν εγκατέλειψαν ποτέ τον αγώνα, επιμένοντας η κάθε μία από τη δική της σκοπιά. Ο αρχικά «πλατωνικός» μαθηματικός ρεαλισμός εμπλουτίζεται διαρκώς ως σήμερα, βρίσκοντας νέους εκφραστές ακόμη και ως τις μέρες μας. Πριν από μερικά χρόνια ο κοσμολόγος Μαξ Τέγκμαρκ, καθηγητής στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης (ΜΙΤ), έχει διατυπώσει την Υπόθεση του Μαθηματικού Σύμπαντος ή Θεωρία του Απόλυτου Συνόλου, σύμφωνα με την οποία όλες οι μαθηματικές δομές έχουν φυσική υπόσταση.

Στον αντίποδα, οι πρόσφατες θεωρίες των ενσώματων μαθηματικών, με πιο γνωστή αυτή των Τζορτζ Λάκοφ και Ραφαέλ Νούνιες, ξεκινούν από τις γνωσιακές επιστήμες για να υποστηρίξουν ότι τα μαθηματικά αποτελούν μια κατασκευή του ανθρώπινου μυαλού, το οποίο καθοδηγείται από το φυσικό Σύμπαν στη διατύπωση δομών οι οποίες μπορούν να το ερμηνεύσουν. Το ζήτημα τού αν οι αριθμοί είναι πραγματικοί ή απλώς μια επινόησή μας κάθε άλλο παρά έχει λυθεί. Σύμφωνα δε με πολλούς θεωρητικούς και μαθηματικούς, ίσως δεν βρει ποτέ την απάντησή του.

 

 

Ο ζωγραφικός πίνακας που πλαισιώνει τη σελίδα είναι έργο του Πιέτ Μοντριάν.

πηγή κειμένου: το ΒΗΜΑ, 24/08/2008

4 Σχόλια

  1. Ενδιαφέρον άρθρο αλλά ο τίτλος μάλλον θέτει το ερώτημα ρητορικά και σε μια βάση που δεν επιτρεπει μια πιο εις βάθος θεώρηση. Το ίδιο δεν θα μπορούσαμε να ρωτήσουμε, πχ. για την βαρύτητα ή την έννοια της αλήθειας; Προϋπήρχε άραγε ή είναι εφεύρεση του ανθρώπινου νού; Το ενδιαφέρον με τα Μαθηματικά είναι ότι συγκεντρώνουν τα πρότυπα (patterns) τα οποία έχουν τόσο μεγάλη εξηγητική ισχύ ώστε να δημιουργούν εύλογες απορίες σε πολλούς επιστήμονες, όχι τόσο αν είναι αποκυήματα της φαντασίας ή αν προϋπάρχουν (μπορούμε να υποθέσουμε ότι ισχύουν και τα δύο, απλώς η ανθρώπινος νους αντιλαμβάνεται μόνο ένα μέρος τους ως “Μαθηματικά” ενώ αυτό που προϋπάρχει είναι κατ’ ανάγκη κάτι άλλο), αλλά αν το σύμπαν έχει κατασκευαστεί/δομηθεί με βάση κάποιες ανώτερες Μαθηματικές αρχές των οποίων μόνο κάποια στοιχεία μπορούμε να προσεγγίσουμε. Μήπως “τρέχει” το σύμπαν πάνω σε κάποιο master code, εντός του οποίου υπάρχουμε και εμείς, μαζί και αυτό που ονομάζουμε Μαθηματικά; Και αν είναι έτσι, ποιός ο λόγος; Υπάρχει άραγε δυνατότητα για interrupt ή reset απο “μέσα”; Μπορεί το “πρόγραμμα” (εμείς δηλαδή) να επικοινωνήσει με τον δημιουργό ή αυτό είναι εκτός των κανόνων του παιγνιδιού; Ελπίζω η προβληματική να βοηθάει. Ευχαριστώ το Αντίφωνο και την κ. Λαλίνα Φαφούτη για την αφορμή να ξαναδούμε αυτό το ενδιαφέρον θέμα.

  2. Η αποτελεσματικότητα των μαθηματικών στις διάφορες τεχνολογικές εφαρμογές και κυρίως στη φυσική ίσως φαίνεται χωρίς λογική εξήγηση, αλλά αυτή η εντύπωση οφείλεται, τουλάχιστον εν μέρει, σε φαινόμενα επιλογής. Κατ’ αρχήν έχουμε εξελιχθεί μέσα σε αυτό το Σύμπαν και η έμφυτη ικανότητα δημιουργίας και αναγνώρισης μοτίβων που έχουμε είναι καρπός προσαρμογής σ’ αυτό ακριβώς το περιβάλλον. Έπειτα τα μαθηματικά μας – αν και δεν περιορίζονται απόλυτα από τον φυσικό κόσμο – εμπνέονται σε μεγάλο βαθμό από την αντίληψη που έχουμε για αυτόν. Τέλος η ασυνήθιστη αποτελεσματικότητα των μαθηματικών είναι φαινομενική. Θαυμάζουμε τις σπάνιες επιτυχίες τους στην ερμηνεία της φύσης, πράγμα που μας τυφλώνει μπροστά στις πανταχού παρούσες αποτυχίες. Για παράδειγμα αν και υπάρχουν πολλά και σημαντικά μαθηματικά κομμένα και ραμμένα στα μέτρα της φυσικής, δεν συμβαίνει το ίδιο στη χημεία, στη βιολογία, στην επιστήμη των υπολογιστών, στη γλωσσολογία, στην καθημερινή λογική και αλλού.

  3. Είναι κατανοητό ότι πρόκειται για μια φιλότιμη προσπάθεια “εκλαΐκευσης”. Και σεβαστή είναι και με βοήθησε κατά το αναλογούν της ποσοστό σε μια περίοδο, που με απασχολούν σχετικά ζητήματα. Αλλά Συρακούσιος ο Πυθαγόρας και “Θεώρημα” το “Αίτημα” του Ευκλείδη ή “Αξίωμα” κατά Αριστοτέλη; Φιλοσοφικά στέκει, καθόσον ουκ ολίγοι επιχείρησαν να το αποδείξουν. Ωστόσο, αυτό είχε κατά νου η αρθρογράφος και μετέτρεψε το “Αίτημα” σε “Θεώρημα”; Μετά από αυτές τις δύο παρατηρήσεις, μια σκιά έπεσε πάνω σε καθένα από τα ζητήματα που πραγματεύεται το κείμενο. 🙁

  4. Ενδιαφέρον το κείμενο και αρκετά εύστοχα διατυπωμένο για το λιγοστό χώρο που καταλαμβάνει. Ευχαριστώ πολύ την αρθρογράφο για την προσφορά της. Αν και το κείμενο εύστοχα αναφέρεται στους αριθμούς η κουβέντα στράφηκε προς τα μαθηματικά και η διάκριση είναι σημαντική. Για τα μαθηματικά δε νομίζω ότι τίθεται το ίδιο ερώτημα στην ένταση που τίθεται για τους αριθμούς. Για τα μαθηματικά νομίζω πως ίσως είναι κάπως πιο εύκολο να πάρω θέση και γι’αυτό νιώθω την ανάγκη να προσθέσω μια σημείωση σχετικά με τις 3 τελευταίες προτάσεις του κ. Χ. Βαρυμπόπη, κυρίως όχι στην ουσία αλλά στη διατύπωση. Έχω την εντύπωση, αν κατανόησα τον συλλογισμό σας, ότι αυτό που εντοπίσατε αποδίδεται ως η ανυπαρξία κάποιου “γλωσσικού” φορμαλισμού αρκετά ‘πλούσιου’ όσο αυτού των μαθηματικών, δε θα έπρεπε να βαρύνει η ευθύνη τα μαθηματικά αφενός, αφετέρου δεν είναι εξ’αυτού του γεγονότος τόσο ξεκάθαρο, τουλάχιστον σε εμένα, το κατά πόσο οι αριθμοί αποτελούν ανθρώπινο δημιούργημα ή όχι από τη στιγμή που η αποτελεσματικότητά τους κρίνεται και τυγχάνει ερμηνείας δικής μας. Το αν υπάρχουν μαθηματικά ή όχι είναι διαφορετικό από το κατά πόσο ανακαλύπτονται και εφαρμόζονται σωστά αλλά και σε ποιο εύρος. Προσωπικά δε θεωρώ ότι έχουν επιτύχει ή αποτύχει παρά μόνο ότι εξυπηρετούν στο βαθμό που το αναγνωρίζουμε. Τα μαθηματικά είναι ανθρώπινο κατασκεύασμα που όμως προσομοιάζει μερικώς τον τρόπο λειτουργίας του σύμπαντος, είναι ένα μοντέλο. Το σύμπαν, ή η φύση καλύτερα, δεν ξεχωρίζει κάτι σε ‘χημεία’ ή ‘φυσική’ ή ‘κοινωνιολογία’ η διάκριση είναι καθαρά ανθρώπινη. Ωστόσο, εξυπηρετεί. Εκτιμώ ότι η επιστήμη των υπολογιστών και η γλωσσολογία, καθώς και η λογική (έβγαλα το καθημερινή σκοπίμως) έχουν μαθηματικά ‘κομμένα’ στα μέτρα τους απλά λιγότερο διαδεδομένα (και γι’αυτό αφαίρεσα το καθημερινή). Πέρα όμως όλων αυτών, νομίζω ότι κατανοώ σε ποια απουσία αναφέρεστε κρίνοντας κυρίως από τη ροή των 3 πρώτων προτάσεών σας, με τις οποίες και συμφωνώ.

Σχολιάστε:

Πληκτρολογήστε το σχόλιό σας
Please enter your name here