Παύλος Κλιματσάκης
Το παρόν κείμενο αποτελεί εφαρμογή των εννοιολογικών κατηγοριών, οι οποίες διατυπώθηκαν στο κείμενό μου με τον τίτλο «τί είναι έννοια», επί του πεδίου της ποσότητας, του αριθμού και της ποσοτικής σχέσεως. Η εξέταση της ποσότητας υπηρετεί την σκοπιμότητα, να καταστεί σαφές ότι τα εννοιακά εργαλεία, που αναπτύξαμε, βοηθούν στην εννόηση διαφόρων γνωστικών αντικειμένων. Επιχειρώ λοιπόν να διατυπώσω τις κατηγορίες (βασικές έννοιες) που αφορούν στην ποσότητα, τον αριθμό και την συσχέτιση ποσοτήτων. Πρόκειται δηλαδή για μια φιλοσοφική αποτύπωση των περί ων ο λόγος εννοιών, και μάλιστα υπό το πρίσμα της διαλεκτικής μεθόδου. Η διαφορά της φιλοσοφικής προσέγγισης της ποσότητας από αυτήν της επιστήμης των μαθηματικών είναι σαφής (τουλάχιστο στην κλασική φιλοσοφία). Η συνήθη διαφορά της φιλοσοφίας από οποιαδήποτε άλλη επιστήμη γίνεται κατανοητή αν διακρίνουμε μαζί με τον Αριστοτέλη τον νου από την επιστήμη. Ο νους είναι εκείνη η δύναμη του «λόγου έχοντος μέρους της ψυχής» δια της οποίας συλλαμβάνονται οι έσχατες αρχές κάθε γνωστικού αντικειμένου. Η δε επιστήμη είναι εκείνη η δύναμη της ψυχής, δια της οποίας παράγονται συλλογιστικά οι γνώσεις των ιδιοτήτων που αφορούν τα ορισθέντα αντικείμενα. Έτσι στην έννοια της ποσότητας φτάνουμε δια του νου· άρα είναι έργο της φιλοσοφίας να διατυπώσει με ακρίβεια αυτήν την έννοια. Έργο της επιστήμης της ποσότητας, δηλαδή των μαθηματικών, είναι να εξάγει συλλογιστικώ τω τρόπω συμπεράσματα σχετικά με τα γνωρίσματα, τις ιδιότητες της ποσότητας και των ειδών της (η γεωμετρία, ως επιστήμη του χώρου {καλύτερα: των σχημάτων ή των χώρων} δεν θαμας απασχολήσει εδώ, αφού δεν αφορά την αμιγή ποσότητα).
Οι φιλοσοφικές αντιλήψεις περί ποσότητας εμβαθύνουν και καθίστανται πιο συγκεκριμένες εφόσον αφομοιώνουν τις εξελίξεις της μαθηματικής επιστήμης· αντιστρόφως, οι εξελίξεις αυτές δημιουργούν ζητήματα, τα οποία παρακινούν προς μια όλο και πιο εννοιολογική προσέγγιση της ποσότητας και του αριθμού. Στο κείμενο που ακολουθεί θα παρουσιάσω έννοιες περί ποσότητας, οι οποίες κατά την άποψη μου άπτονται και νεώτερων εξελίξεων στην επιστήμη των μαθηματικών. Η αποζητούμενη εννοιολόγηση της ποσότητας δεν ταυτίζεται πάντως ως προς τον σκοπό με την λεγόμενη «φιλοσοφία των μαθηματικών, πχ. κονστρουκτιβισμός, ενορατισμός κττ. Τέτοιες προσεγγίσεις κατανοούν τα μαθηματικά στο πλαίσιο της λεγομένης «φιλοσοφίας της επιστήμης», η οποία ασχολείται φορμαλιστικά με το ερώτημα «τί είναι επιστημονική γνώση» (και εν προκειμένω μαθηματική). Εμείς στρέφουμε το βλέμμα προς την κατεύθυνση των μαθηματικών για να αντλήσουμε ιδέες, τις οποίες θα ανυψώσουμε στο επίπεδο των κατηγοριών. Αυτή είναι κατά την άποψή μας η κύρια δουλειά της φιλοσοφίας.
Το λεχθέν ισχύει και για την στάση μας απέναντι σε θεολογικά ερωτήματα, σε σχεση με τα οποία επιχειρούμε να αναβιβάσουμε την προετοιμασμένη (στην εν λόγω περίπτωση, την δογματικά προετοιμασμένη) γνώση σε γνώση δια της έννοιας, δηλαδή σε αυτοσυνείδητη και αυτοπαραγόμενη μορφή γνώσεως που είναι προσφυής στον νου του ανθρώπου. Αυτή η προσέγγιση συναντά την αντίδραση όσων θεωρούν το εννοείν ως ακατάλληλο να συλλάβει τον Θεό ως αντικείμενο γνώσεως. Ωστόσο, ο Θεός είναι αντικείμενο γνώσεως (αν και όχι μόνο εννοιακής γνώσεως, εάν θέλει κάποιος να ονομάσει «γνώση» την κοινωνία με τον Θεό). Αυτές οι δυσκολίες προκύπτουν από ελλιπή συνεννόηση σχετικά με το τι αποτελεί εννοιακή γνώση. Το ίδιο πάντως ισχύει και σε σχέση με τις επιστήμες, όπου οι σχηματιζόμενες παραστάσεις σχετικά με τα γνωστικά αντικείμενά τους συχνά παρουσιάζονται ως ακατάλληλες στην πρόσβαση δι’ εννοιών. Χαρακτηριστικά παραδείγματα είναι οι λεγόμενες «παραδοξότητες» της κβαντικής και της σχετικιστικής φυσικής, ή κάποιες παραστάσεις περί πολυδιάστατων χώρων στην νεώτερη γεωμετρία. Πολλοί θεωρούν ότι τα σχετικά φαινόμενα εκφεύγουν της συνήθους αντιλήψεως και των παραδοσιακών εννοιών μας. Αυτό που διαφεύγει από τους ίδιους τους επιστήμονες είναι η πραγματική φύση της έννοιας, το περιεχόμενο της οποίας, ως ενότητα αντιθέτων, είναι το κατ’ εξοχήν «παράδοξο» για τον κοινό νου. Όποιος το συνειδητοποιεί αυτό μπορεί να εννοήσει π.χ. ότι το σωμάτιο είναι σωμάτιο και κύμα όχι επειδή είναι κάτι παράδοξο, αλλά επειδή η έννοια είναι η ουσία της πραγματικότητας και επομένως και της ύλης. Αυτής λοιπόν τα στοιχειώδη μέρη πρέπει να διακρίνονται αλλά και να συνέχονται μετ’ αλλήλων· παρουσιάζουν επομένως ιδιότητες, οι οποίες είναι αντιφατικές. Αλλά, η αληθής ουσία είναι ενότητα εν τη αντιθέσει.
Τι είναι ποσότητα
Επί του προκειμένου: Κατά τον Αριστοτέλη μπορούμε να διακρίνουμε τα είδη των επιστημών ως εξής: α. η φιλοσοφία ασχολείται με όντα τα οποία είναι χωριστά και μη-μεταβαλλόμενα (τα αιώνια και ωσαύτως έχοντα) β. τα μαθηματικά ασχολούνται με όντα τα οποία είναι μη-χωριστά και μη-μεταβαλλόμενα και γ. η φυσική (ως φιλοσοφία ή ως εμπειρική επιστήμη) ασχολείται με όντα τα οποία είναι χωριστά και μεταβαλλόμενα. Σε σχέση με τις ποσότητες το ότι «δεν υπάρχουν χωριστά» σημαίνει ότι δεν συνιστούν όντα καθ’ εαυτά, αλλά εξωτερικά κατηγορήματα των όντων, όπως, όταν λέμε τρία μολύβια, τα μεν μολύβια υπάρχουν, αλλά όχι το «τρία». Το τρία είναι μεν προσδιορισμός των μολυβιών, όταν τα απαριθμήσουμε, αλλά έτσι ώστε να μην αλλάζει τίποτε στην ουσία τους (επειδή π.χ. είναι τρία). Πέντε μολύβια είναι εξίσου μολύβια όσο και τα τρία.
Η ποσότητα διακρίνεται από το μέγεθος (π.χ. το φυσικό μέγεθος «ταχύτητα»). Στα μαθηματικά γίνεται λόγος περί καθαρών (αμιγών) ποσοτήτων ή αριθμών. Ένα φυσικό μέγεθος, π.χ. η ταχύτητα, είναι τόσο ποσότητα όσο και ποιότητα, είναι μέτρο κάποιου πράγματος ή κάποιας ιδιότητάς του (εν προκειμένω της κίνησης). Στα φυσικά μεγέθη η ποσότητα δεν είναι ανεξάρτητη της ποιότητας, αλλά αλληλοκαθορίζονται, π.χ. το νερό στους 100 βαθμούς βράζει και αλλάζει φάση. Η ποιότητα «ρευστότητα» συναρτάται εν προκειμένω με την ποσότητα «θερμοκρασία». Το ότι όμως τα μολύβια εμπρός μου είναι τρία, δεν επηρρεάζει την ποιότητά τους. Η αμιγής επομένως ποσότητα, είναι εξωτερικός προσδιορισμός των όντων, ένας προσδιορισμός που δεν προσδιορίζει.
Το ίδιο μπορεί να νοηθεί και ως εξής: Η ποσότητα είναι η κοινωνία, που δεν είναι κοινωνία· είναι η κοινωνία τεθειμένη ως αυτοάρνηση, ως α-κοινωνησία (συνάθροιση). Ας θυμηθούμε ότι το ον διακρίνεται σε κτιστό και άκτιστο. Είδαμε αλλού ότι η έννοια του ακτίστου προκύπτει αρνητικώ τω τρόπω από την έννοια της φύσεως ως χωροχρονικής πραγματικότητας, η οποία προϋποθέτει μία αρχική κατάσταση, η οποία με τη σειρά της κατ’ ανάγκην προέρχεται από το ον που θέτει εαυτό, από τον Θεό. Το ον που θέτει εαυτό, νοείται επομένως ως αυτοδιαμεσολαβημένο, ως απόλυτο ον. Σύμφωνα με την έννοιά του το αυτοδιαμεσολαβημένο ον είναι επίσης έμμεσο και άμεσο απόλυτο όν. Το μεν έμμεσο απόλυτο ον εκλήθη «ουσία», το δε άμεσο εκλήθη «είναι ή το ον εν γένει». Έκαστο εξ αυτών συνιστά μια σφαίρα με ιδιάζοντες καθορισμούς, τις κατηγορίες. Οι βασικές κατηγορίες που εκφράζουν το άμεσο απόλυτο ον είναι η «ποιότητα», η «ποσότητα» και το «μέγεθος» (ή «μέτρο»). Με την «ποιότητα» νοούμε τον καθορισμό ως άμεσο, δηλαδή σε ενότητα με το Είναι. Είδαμε ότι η ανάπτυξη της κατηγορίας της ποιότητας ολοκληρώνεται με την έννοια της «κοινωνίας», η οποία εννοήθηκε ως ενότητα ατομικών ολοτήτων, το θαυμασιακό. Η «κοινωνία» ολοκληρώνει τον καθορισμό του άμεσου απολύτου όντος. Η κοινωνία ως ενότητα ατομικών ολοτήτων (δεν μιλάμε ακόμα για κοινωνία προσώπων, αυτό έπεται) είναι εξίσου και χωρισμός τους, αφού αυτές είναι ατομικότητες· πρόκειται όμως για έναν χωρισμό που δεν είναι χωρισμός (αφού στην κοινωνία οι ατομικότητες είναι ολότητες), και έτσι ο καθορισμός της κοινωνίας από την άποψη των χωριστών ατομικοτήτων, δεν είναι καθορισμός· αυτός ο καθορισμός που δεν είναι καθορισμός, είναι η ποσότητα.
Φτάσαμε έτσι διαλεκτικώ τω τρόπω στον ορισμό της ποσότητας ως εξωτερικού καθορισμού του όντος. Η ποσότητα είναι λοιπόν η σφαίρα της α-κοινωνησίας, της εξωτερικής κοινωνίας. Προφανώς, πόρρω απέχει αυτός ο ορισμός από τους συνήθεις: συχνά λέγεται π.χ. ότι ποσότητα είναι αυτό που επιδέχεται αύξηση και ελλάτωση. Αυτός είναι ένας κυκλικός ορισμός, αφού επίσης η αύξηση και η ελλάτωση ορίζονται με βάση την ποσότητα. Εντελώς ανάξιοι λόγου είναι ορισμοί του τύπου «ποσότητα είναι η ιδιότητα που μπορεί να υπάρχει είτε ως μέγεθος είτε ως πλήθος» (βλ. Wikipedia). Αυτό, προφανώς, δεν είναι ορισμός. Η «θεωρία συνόλων» θα ήταν ίσως για τους περισσότερους μαθηματικούς μια πιθανή αφετηρία ορισμού της ποσότητας, αλλά θα δούμε ότι ούτε και αυτή ενδείκνυται. Εν γένει, όπως θα μας εξηγούσε ο Αριστοτέλης, ο ορισμός της ποσότητας δεν είναι καν δουλειά των μαθηματικών, διότι η επιστήμη πρέπει να ξεκινήσει από μία αρχή, στην οποία φτάνει ο νους. Ο νους των μαθηματικών περιέχει βεβαίως επίσης την έννοια της ποσότητας, αλλά χωρίς αυτή να έχει οριστεί σαφώς, διότι για να οριστεί πρέπει να εκκινήσουμε, όπως ελέχθη, από την έννοια της κοινωνίας.
Με βάση τον αναφερθέντα ορισμό, προβαίνουμε τώρα σε ανάπτυξη της έννοιας της ποσότητας κατά το πρότυπο όσων αναφέρθηκαν στο άρθρο «τί είναι έννοια». Εκεί εξηγήσαμε ότι κάθε κατηγορία, όπως εκείνη της ποιότητας, έχει τρεις βασικές στιγμές: α. ως καθολικότητα, β. ως συγκεκριμένο και ως γ. συγκεκριμένο-καθολικό (πρώτη άποψη του οποίου είναι το ατομικό). Έτσι το ον εν γένει ή κατά την καθολικότητά του καλείται «Είναι». Αυτό δια του Γίγνεσθαι καταλήγει στο συγκεκριμένο Είναι και εν συνεχεία αναδεικνύεται μέσω του «καθορισμού» και του «ορίου» αρχικά ως πεπερασμένο και στη συνέχεια ως άπειρο, επιστρέφοντας έτσι στην καθολικότητα, αλλά ως συγκεκριμένη πλέον. Το συγκεκριμένο-καθολικό είναι κατ’ αρχάς το ατομικό ον με τις ιδιότητες του, το οποίο μεταβαίνει στο «σύστημα», στο οποίο επανιδρύεται μεν η ολότητα, αλλά ως περιορισμένη. Εν τέλει το ον δηλώνεται ως «ατομική ολότητα», η οποία είναι επιδεκτική της αλληλοπεριχωρήσεως και της κοινωνίας. Οι στιγμές αφορούν κάθε κατηγορία και επομένως και την ποσότητα. Επομένως, η ποσότητα είναι κατ’ αρχάς καθολικότητα, η ποσότητα εν γένει.
Η καθολική ποσότητα
1. Η καθολική ποσότητα ως α-κοινωνησία, είναι α. απώθηση των ατομικοτήτων, διακριτότητα, η οποία είναι όμως επίσης κοινωνία, αφού κάθε απωθημένη ατομικότητα είναι το ίδιο με κάθε άλλη και επομένως συνέχεται με κάθε άλλη, δηλαδή β. το ποσοτικό συνεχές.
Παρατήρηση: Η ποσότητα ως τέτοια και κάθε καθορισμένη ποσότητα είναι τόσο διακριτότητα, οπότε κάνουμε λόγο για μονάδες, όσο και συνέχεια, όπου οι μονάδες εμφανίζονται απορροφημένες στην ενότητα. Το διακριτό περνάνει στο συνεχές διότι, μόλις η μονάδα τεθεί ως όντως χωριστή, παύει να είναι μονάδα. Είναι μονάδα εντός της κοινωνίας, την οποία διασπά, και όντας αυτή η κοινωνία. Είναι δηλαδή διακριτή, επειδή διασπά το συνεχές· το δε συνεχές είναι συνεχές, συνέχοντας, κρατώντας τις μονάδες εν ενότητι.
Σε αυτό το σημείο εκκινούν τα προβλήματα κατανόησης που σχετίζονται με τους «υπερπεπερασμένους αριθμούς» της θεωρίας συνόλων. Θεωρώντας δηλαδή ότι το διακριτό και το συνεχές μπορούν να νοηθούν χωριστά, μπορεί κάποιος να καταλήξει στο ότι υπάρχουν μη-απαριθμητά απειροσύνολα, τέτοια δηλαδή που δεν είναι δυνατόν να τεθούν σε αντιστοιχία «ένα προς ένα προς» προς το σύνολο των φυσικών αριθμών. Εν προκειμένω υπολανθάνει η αντίληψη ότι στους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή στην σειρά 1,2,3,4,… μπορεί, ας πούμε, ανάμεσα στο 1 και το 2 να υπεισέλθουν άλλοι αριθμοί, π.χ. οι κλασματικοί. Επομένως, κατά κάποιο τρόπο η σειρά των φυσικών αριθμών ή των ακεραίων γίνεται αντιληπτή ως αποτελούμενη από «διακριτούς» και μόνον αριθμούς. Δεν είναι όμως έτσι· ανάμεσα στο 1 και το 2 δεν υπάρχει άλλος αριθμός, δεν υπάρχει, ας πούμε, κάποιο κενό, παρά μόνο εάν παραστήσουμε τους αριθμούς ως σημεία πάνω σε μία ευθεία, οπότε ανάμεσα στα σημεία που αντιστοιχούν π.χ. στο 1 και το 2 μπορούμε να φανταστούμε ότι υπεισέρχονται και άλλα σημεία. Έτσι οι πραγματικοί αριθμοί παριστάνονται ότι αντιστοιχούν στο συνεχές της ευθείας. Μόνο που η ευθεία δεν είναι απλώς συνεχής, αλλά και αυτή μπορεί να νοηθεί ότι αποτελείται από διακριτά σημεία.
Πώς λύεται λοιπόν το ζήτημα; Αριστοτελικά! Αυτό που πρέπει κατ’ αρχάς να γίνει κατανοητό είναι ότι η ποσότητα ως αμιγής είναι απλώς στον νου, δεν υπάρχει στη φύση. Στη φύση η ποσότητα παρουσιάζεται ως μέγεθος των φυσικών πραγμάτων, έκταση, διάρκεια, ταχύτητα κλπ. Αυτό σημαίνει ότι την αμιγή ποσότητα μποορύμε να την φανταστούμε ως άπειρα διαιρετή (άπειρον κατά διαίρεσιν) (ή ως άπειρα αυξήσιμη, προσθέτοντας μονάδες στις μονάδες χωρίς τέλος). Αυτό το είδος απείρου, όπως θα δούμε αργότερα, δεν είναι αληθώς άπειρο, διότι απλώς επανιδρύει το πεπερασμένο. Πολύ δε περισσότερο, προκύπτει από την πράξη της άπειρης αναγωγής, δηλαδή από μία διαδικασία, την οποία επαναλαμβάνουμε στον νου και την νοούμε ως μη έχουσα τέλος. Στην πραγματική δραστηριότητά μας όμως έχει τέλος, αφού αν αρχίσουμε να διαιρούμε πραγματικά ένα κομμάτι ξύλο, πολύ σύντομα δεν θα μπορούμε να προχωρήσουμε περαιτέρω. Σε επίπεδο μορίων το ξύλο παύει να είναι ξύλο, οπότε η διαίρεση δεν έχει πλέον νόημα. (Το εάν ο χώρος εν γένει είναι άπειρα διαιρετός, είναι ψευδοερώτημα, καθώς προϋποθέτει ότι υπάρχει χώρος ως κάποιου είδους ανεξάρτητη από την ύλη πραγματικότητα· κάτι τέτοιο θα ήταν πάλι ύλη. Περαιτέρω, το λεγόμενο κενό, δεν είναι «καθαρός» χώρος, αλλά έχει φυσικές ιδιότητες.) Ένα κομμάτι ξύλο ή και ο χώρος δεν είναι πάντως αμιγείς ποσότητες, αλλά μετρώνται δι΄ ενός φυσικού μεγέθους. Οι αμιγείς ποσότητες είναι στον νου και μόνον. Ως εκ τούτου είναι μεν «δυνάμει» απείρως διαιρετές, αλλά όχι «ενεργεία», το άπειρο έχει δηλαδή τη σημασία της διαδικασίας μιας ατελεύτητης και ποτέ ολοκληρωμένης διαίρεσης ή αύξησης δια προσθέσεως μονάδων.
Το λεχθέν σημαίνει ότι δεν είναι δυνατή μία ενεργεία άπειρη αμιγής ποσότητα, αυτή είναι δηλαδή μία έκφραση χωρίς νόημα. Επομένως, ακόμα κι αν πούμε ότι οι ακέραιοι είναι απαριθμητοί δια των φυσικών αριθμών, αυτό δεν δηλώνει ότι η απαρίθμηση ή ή αντιστοίχηση ένα προς ένα έλαβε όντως χώρα. Πρόκειται πάλι για μία διαδικασία στον νου. Όταν λοιπόν κάποιος σκέφτεται ότι στους πραγματικούς αριθμούς ανάμεσα, ας πούμε, στο 1 και το 2, παρεμβάλλονται άπειροι αριθμοί, και ότι ως εκ τούτου οι πραγματικοί δεν είναι απαριθμητοί, νομίζει ότι αυτό συμβαίνει ενεργεία, ότι πράγματι ανάμεσα στο 1 και 2 υπάρχει κάτι. Δεν συνειδητοποεί δηλαδή ότι απλώς εννόησε ότι ανάμεσα στο 1 και το 2 (ή ανάμεσα σε οποιεσδήποτε μονάδες) μπορεί να διακόψει την συνέχειά τους (αυτή που έχουν στους φυσικούς αριθμούς) και να εισάγει μια ασυνέχεια. Δημιουργεί δηλαδή τώρα μία «απόσταση» ανάμεσα στο 1 και το 2, εντός της οποίας μπορούν να «χωρέσουν» άλλες μονάδες, και μέσα σε αυτές άλλες, και αυτό πάλι χωρίς τέλος.
Μα, θα μπορούσε να ερωτήσει κάποιος, δεν υπάρχει ο αριθμός 1,5 ή 1+½; Αυτός, ο αριθμός πού θα τοποθετηθεί, αν όχι ανάμεσα στο 1 και το 2; Εν προκειμένω πρέπει κανείς να προσέξει τι ουσιαστικά εννοεί με το «1,5». Στην πραγματικότητα υπολανθάνει το εξής: Υποτίθεται ότι 1,5 σημαίνει μία μονάδα και μισή μονάδα. Πώς όμως είναι δυνατόν να έχουμε μισή μονάδα; Η μονάδα εξ ορισμού είναι αυτό το οποίο δεν τέμνεται περαιτέρω (αντιστοίχως στον χώρο το σημείο και στον χρόνο η στιγμή). Στους φυσικούς αριθμούς η μονάδα εκλαμβάνεται όντως ως μονάδα, και επομένως ανάμεσα σε δύο μονάδες δεν υπάρχει τίποτε άλλο. Στους πραγματικούς έχουμε αλλάξει τον τρόπο θέασης. Έχουμε αναμείξει δύο επίπεδα μονάδων (όσον αφορά στο πρώτο δεκαδικό ψηφίο). Το πρώτο επίπεδο είναι οι φυσικοί αριθμοί. Στη συνέχεια επειδή διακριτό και συνεχές μεταβαίνουν το ένα στο άλλο, δηλαδή επειδή τη μονάδα μπορούμε να την εκλάβουμε επίσης ως κάτι συνεχές, την τέμνουμε σε περαιτέρω μονάδες, και έχουμε έτσι μονάδες δύο επιπέδων (και αυτό μπορούμε να το κάνουμε πάλι χωρίς τέλος, ανάλογα με το πόσα δεκαδικά ψηφία θέλουμε να δηλώσουμε.
Εάν δούμε το πράγμα διαφορετικά, καταλαβαίνουμε σε τι οφείλεται η σύγχυση. Αντί να παρασταθεί το 1,5 με μιάμιση μονάδα πρώτου επιπέδου,μπορεί να παρασταθεί με 15 μονάδες δευτέρου επιπέδου (ή με 150 μονάδες τρίτου επιπέδου κλπ.)και είναι πάλι το ίδιο. Επομένως 1,5 σημαίνει κατ’ ουσίαν 15 μονάδες δευτέρου επιπέδου ή αντίστροφα 15 μονάδες δηλώνουν εξίσου 1,5 μονάδες ενός υψηλότερου επιπέδου (εννοείται ότι το δεκαδικό σύστημα είναι θέσει και όχι φύσει). Άρα, το ότι οι πραγματικοί αριθμοί είναι μη-απαριθμητό απειροσύνολο, έχει να κάνει με το ότι δεν συνιστούν ενεργεία άπειρο, αλλά δυνάμει άπειρο· κάθε φορά μπορεί κάποιος να προχωρήσει σε ένα περαιτέρω επίπεδο μονάδων, από αυτό με το οποίο είχε ξεκινήσει· έτσι το σύνολο των πραγματικών δεν παριστάνει κάτι δεδομένο (ενεργεία) και υπό αυτήν την έννοια δεν είναι απαριθμητό.
Σύμφωνα με τα λεχθέντα, είναι δυνατόν κάποιος να ονομάσει τους πραγματικούς αριθμούς ένα υψηλότερο είδος απειρότητας (Aleph 1). Ωστόσο, αυτός ο τρόπος έκφρασης ουσιαστικά δηλώνει ότι το διακριτό και το συνεχές είναι ενότητα στην αμιγή ποσότητα, και επομένως είναι δυνατόν, αυτό που στο επίπεδο των φυσικών αριθμών ελήφθη ως μονάδα, να διασπαστεί σε περαιτέρω μονάδες και αυτό χωρίς τέλος. Πρόκειται επομένως για την ιδέα του απείρου εκ διαιρέσεως. Το άπειρο των φυσικών αριθμών είναι το άπειρο εκ προσθέσεως. Κάτι αντίστοιχο μπορούμε να σκεφθούμε με το άπειρο που προκύπτει όταν παριστάνουμε μια σειρά που αποτελείται από τα τετράγωνα όλων των φυσικών αριθμών. Προφανώς, προκύπτει και εδώ το ίδιο μοτίβο: τα τετράγωνα όλων των φυσικών αριθμών θα πρέπει να περιλαμβάνουν και τα τετράγωνα των τετραγώνων τους (κύβους), αφού και τα τετράγωνα είναι φυσικοί αριθμοί, αλλά και τα τετράγωνα των τετραγώνων των τετραγώνων, για τον ίδιο λόγο, και αυτό χωρίς τέλος.
Η ιδέα του μη-απαριθμητού απειροσυνόλου είναι λοιπόν ψευδής, και το αληθές της περιεχόμενο είναι το δυνάμει κατά διαίρεσιν άπειρο. Περαιτέρω, οι πραγματικοί αριθμοί κακώς ταυτίζονται με την έννοια του συνεχούς (θα δούμε στη συνέχεια ότι συνεχές είναι το ποσό που ονομάζεται εντατικό). Οι πραγματικοί αντιθέτως, προϋποθέτουν την δυνατότητα όλο και μεγαλύτερης διάσπασης (στον νου) των μονάδων, άρα εξίσου καλά θα μπορούσε κάποιος να θεωρεί ότι εκπροσωπούν το διακριτό.
1. 1. Νοώντας επομένως το διακριτό, νοούμε το συνεχές, και αντίστροφα, και επομένως νοούμε την μετάβαση του ενός στο άλλο, (το συνεχές διασπάται σε διακριτά μέρη, τα συνεχή καθίστανται διακριτά), δηλαδή το Γίγνεσθαι της ποσότητας, την ποσότητα ως μεταβαλλόμενη.
Παρατήρηση: Η έκφραση «γίγνεσθαι ή μεταβολή της ποσότητας» δεν δηλώνει κάποια μεταβολή ανάλογη με την ποιοτική, αλλά ότι η οποιαδήποτε ποσότητα ως ενότητα διακριτότητας και συνέχειας μπορεί να νοείται ως περιέχουσα περισσότερες ή λιγότερες μονάδες (ή, πράγμα που είναι το ίδιο, περισσότερη ή λιγότερη συνέχεια), άρα αυξάνεται ή μειώνεται. Η φυσική αντίληψη είναι ότι αυξάνω ή μειώνω την ποσότητα, προσθέτοντας ή αφαιρώντας μονάδες. Κατ’ ουσίαν όμως, μπορεί κανείς να διατυπώσει το ίδιο και ως εξής: η ποσότητα, μεταβαίνοντας από διακριτότητα σε συνέχεια, μειώνεται ή μεταβαίνοντας από συνέχεια σε διακριτότητα, αυξάνει. Όπως προαναφέρθηκε, η ποσοτική μεταβολή, ως αύξηση και μείωση, δεν μπορεί να αποτελεί ορισμό της ποσότητας, αφού την προϋποθέτει. Περαιτέρω, η συνήθης αντίληψη αντιλαμβάνεται ως μεταβολή της ποσότητας κάποια πράξη, όπως όταν προστίθεται ή αφαιρείται μία μονάδα (ή κάποιο ποσό) σε ένα ήδη ορισμένο ποσό. Αυτό όμως δεν είναι όντως ποσοτική μεταβολή αλλά σύνθεση ή απο-σύνθεση ποσών.
1. 2. Το γίγνεσθαι της ποσότητας έχει δύο μορφές α. αύξηση, η οποία είναι το ίδιο β. με τη μείωση, αφού η αύξηση είναι αρνητική μείωση, και η μείωση αρνητική αύξηση. Οι δύο πλευρές του γίγνεσθαι της ποσότητας είναι επομένως κατ’ ουσίαν ενότητα, η ποσοτική μεταβολή παύει· η ποσότητα είναι κατ’ ουσίαν σταθερή ή συγκεκριμένη, δηλαδή Ποσό.
Παρατήρηση: Το ποσό είναι συγκεκριμένη ποσότητα, και όπως το συγκεκριμένο Είναι, η ποιότητα, η οποία είναι κάτι όσο δεν είναι κάτι άλλο, έτσι και το ποσό είναι με το να μην είναι όλη η ποσότητα· η ποσότητα είναι τώρα όντως διασπασμένη. Το ποσό διακρίνεται από την ποσότητα εν γένει, ακριβώς επειδή δεν μεταβάλλεται, αλλά είτε συντίθεται είτε αποσυντίθεται. Στο ποσό διατηρείται η φύση της ποσότητας, αφού κάθε ποσό είναι επίσης διακριτό και συνεχές, αλλά με τη διαφορά ότι το ποσό ως όλον είναι διακριτό από τα άλλα ποσά. Η ποσότητα εν γένει είναι αόριστη, το ποσό είναι ορισμένο.
2. Η συγκεκριμένη ποσότητα
2. 1. Το ποσό ως συγκεκριμένη ποσότητα, είναι και δεν είναι ποσότητα. Στο ποσό η διακριτότητα και η συνέχεια ταυτίζονται (δεν μεταβαίνουν η μία στην άλλη). Το ποσό είναι επομένως άμεσα διπλό: ως συνεχές εν εαυτώ είναι ποσοτική ενότητα, Έν· ως διακριτό (εν εαυτώ) είναι Πλήθος. Το ποσό ως Εν και Πλήθος ομού, είναι το ποσό που είναι αληθώς συγκεκριμένο, ο αριθμός.
Παρατήρηση: Η αληθώς συγκεκριμένη ποσότητα, το αληθώς ποσό, στο οποίο δηλαδή «βλέπουμε» ότι είναι τόσο εν όσο και πλήθος είναι ο αριθμός. Το 3 είναι σαφώς τρεις διακριτές μονάδες, οι οποίες είναι σαφώς εν ενότητι. Ο αριθμός είναι δυνατόν (αν θέλει κάποιος να ακολουθήσει τη θεωρία συνόλων) να κληθεί «σύνολο», υπό την έννοια ότι αποτελεί ενότητα του ποσοτικού ενός και του πλήθους. Ωστόσο, το όλον είναι επίσης ποιοτικός καθορισμός (ενότης του ενός και των πολλών). Στο πλήθος τα πολλά είναι ως μονάδες, οι οποίες είναι όλες το ίδιο, ενώ τα πολλά ενός ποιοτικού όλου μπορεί να είναι διαφοροποιημένα. Επομένως το σύνολο όλων των συνόλων μπορεί να έχει νόημα υπό την έννοια ότι όλα τα ποιοτικά σύνολα μπορούν να απαριθμηθούν, και επομένως το σύνολό τους είναι ένας αριθμός. Προφανώς, αυτό δεν έχει νόημα από ποσοτική άποψη, δηλαδή δεν υπάρχει σύνολο, το οποίο περιέχει όλα τα ποσοτικά σύνολα, δηλαδή όλους τους αριθμούς, και αυτό να δηλώνεται από έναν αριθμό. Εξ ού και το λεγόμενο «παράδοξο του Russel». Επομένως στην αμιγή ποσότητα εξ ορισμού δεν μπορεί να υπάρχει το «σύνολο όλων των συνόλων». Η αξιωματική διατύπωση της θεωρίας των συνόλων, ως γνωστόν, αποφεύγει αυτό το πρόβλημα.
Το αναφερθέν πρόβλημα προκύπτει από το ότι ο αριθμός εκλήθη σύνολο ή όλο, κάτι που δεν του προσιδιάζει, τουλάχιστον, εφόσον σύνολο ονομάζεται «a well-defined collection of objects». Ο αριθμός είναι ενότητα του ποσού θεωρημένου ως συνεχούς και του ποσού θεωρημένου ως διακριτού· δεν αποτελείται από αντικείμενα. Επομένως, ο αριθμός δεν είναι σύνολο, δεν είναι ολότητα, δεν είναι πολλά, τα οποία υπάρχουν εν ενότητι. Τα πολλά είναι πολλά ως ατομικά όντα και επειδή έχουν ιδιότητες, δια των οποίων συστήνουν την ενότητά τους, καθιστάμενα σύστημα. Η έννοια της ολότητας ως ενότητας πολλών είναι ακόμα αφηρημένη. Θα δούμε αργότερα ότι και οι αριθμοί μπορούν να νοηθούν ως σύστημα, όχι όμως ως απλό σύνολο, αλλά ως «ομάδα».
2. 2. Ο αριθμός είναι το όντως ποσό, η αληθώς συγκεκριμένη ποσότητα, η οποία όντως αρνείται, αποκλείει τα άλλα ποσά, όντας ομού ποσοτικό εν και πλήθος. Θεωρημένος ο αριθμός κατά τον εαυτό του, είναι ενότητα υπό την έννοια ότι η διακριτότητά του τον καθιστά χωριστό από τους άλλους αριθμούς, η Μονάδα.
Παρατήρηση: Η Μονάδα είναι εδώ ως ποσοτική, είναι ο αριθμός ως ασυσχέτιστος. Η Μονάδα είναι ο όντως συνεχής αριθμός, και ως εκ τούτου απολύτως διακεκριμένος από τους άλλους.
2. 2. 1. Η Μονάδα είναι διακριτική επειδή είναι ο αριθμός θεωρημένος ως ενότητα· ο αριθμός είναι όμως και Πλήθος, είναι πολλά Εν· επειδή εδώ ο αριθμός νοείται ως πλήθος, έχουμε εμπρός μας ενότητα αριθμών ως Πλήθος, δηλαδή μια ενότητα που δεν είναι ενότητα, είναι δηλαδή μια εξωτερική συσχέτιση αριθμών, η Πράξη. (Ο ίδιος ο αριθμός είναι Πράξη, διότι είναι εν εαυτώ Πλήθος και συσχέτιση).
Παρατήρηση: Η μονάδα είναι ο αριθμός που υπάρχει ως αποκλεισμός, ως μόνος (μονάς), μόνον ο εαυτός του. Είναι ο αριθμός νοημένος ως ασυσχέτιστος. Αλλά ο αριθμός είναι επίσης πλήθος και επομένως συσχετισμένος, δηλαδή Πράξη. Οι μονάδες συσχετίζονται ως ασυσχέτιστες, μόνο εξωτερικά, δια μίας πράξεως. Ο αριθμός είναι, επομένως, ο ίδιος Πράξη. Στα μαθηματικά το ερώτημα είναι ποιες είναι οι πράξεις που μπορούν να εκτελεστούν με ένα είδος αριθμών. Ανάλογα με τις πράξεις προκύπτει και ένα είδος αριθμών. Αν εισάγουμε την αρνητική πρόσθεση, τότε προκύπτουν οι ακέραιοι. Εάν εισάγουμε τον αρνητικό πολλαπλασιασμό προκύπτουν τα κλάσματα, από τα οποία προκύπτουν οι πραγματικοί αριθμοί. Αν εισάγουμε τετραγωνισμό αριθμών που δίνει αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς, προκύπτουν οι μιγαδικοί.
2. 3. Ο Αριθμός ως Πράξη, ως συσχέτιση αριθμών είναι πάλι αριθμός και επομένως Μονάδα. Ο αριθμός αποδεικνύεται ως Μονάδα που είναι δια της Πράξεως και ως Πράξη που είναι ως Μονάδα. Ο αριθμός έτσι τίθεται δια της συσχετίσεως αριθμών και είναι καθορισμένος ή Αποτέλεσμα της Πράξεως (άθροισμα, γινόμενο κλπ)
Παρατήρηση: Ο αριθμός ως συγκεκριμένη ποσότητα, είναι η ποσότητα που συγκεκριμενοποιήθηκε (κατασκευάσθηκε) δια της Πράξεως. Στα μαθηματικά αναζητούμε τον αριθμό ως αποτέλεσμα της πράξεως. Η αναζήτηση λαμβάνει τη μορφή της εξίσωσης, διότι ο αριθμός ως αποτέλεσμα της πράξεως είναι η μία μεριά, αλλά η διαδικασία, η πράξη που τον παράγει είναι η άλλη πλευρά. Αυτό εκφέρεται ως εξίσωση. Ο αριθμός αποκτάει έτσι μια ορισμένη τιμή.
2. 4. Το Αποτέλεσμα της Πράξεως είναι διπλό, αφενός είναι ως Μονάδα, άρα ως ένας καθορισμένος αριθμός θεωρημένος χωρις εσωτερική διάκριση, αν και ως αριθμός είναι πολλότητα. Ο αριθμός είναι έτσι Εντατικός.
Παρατήρηση: Πρόκειται για το συνεχές ποσό, η συγκεκριμένη ποσότητα που έχει τεθεί ως συνέχεια. Το αποτέλεσμα της πράξεως είναι το ποσό ως καθορισμένο. Αυτό μπορεί να νοηθεί από την άποψη ότι είναι μονάδα ή ασυσχέτιστο, τέτοιο ώστε να μην διακρίνουμε σε αυτό τις μονάδες του, αν και περιέχει μονάδες. Έτσι η μεταβολή του εντατικού ποσού είναι συνεχής, ωσάν να μην έχει μονάδες, αν και έχει. Η ένταση – π.χ. η ένταση ενός βάρους που ασκείται επάνω μας – είναι ένα συγκεκριμένο μέγεθος Είναι καθορισμένο ποσό υπό την έννοια έχει μια ορισμένη τιμή, αλλά έχει δηλαδή εξαφανίσει εντός του τη διαφορά των μονάδων, αν και είναι συγκεκριμένο ποσό. Έτσι ο εαυτός του είναι και ο καθορισμός του.
2. 5. Αλλά το εντατικό ποσό είναι αποτέλεσμα πράξεως και έτσι εν εαυτώ καθορισμένο να είναι συσχετισμός αριθμών. Στο βαθμό που αυτή η πλευρά φανερώνεται ως αυτόνομη το ποσό είναι εκτατικό, παρουσιάζεται δηλαδή ως εσωτερικά κατακερματισμένο. Οι δύο πλευρές παραπέμπουν η μία στην άλλη και συναιρούνται στο αληθώς αυτοκαθορισμένο ποσό, που είναι τόσο εντατικό όσο και εκτατικό, στο Βαθμό.
Παρατήρηση: Ο βαθμός (όπως λέμε π.χ. ότι η θερμοκρασία σήμερα είναι 30 βαθμοί) δηλώνει συγκεκριμένο ποσό. Ο βάθμος ως μονάδα (ένας βαθμός) είναι συνεχής, αποκλείει την περαιτέρω διαφοροποίηση, είναι εντατικό μέγεθος· αλλά αυτή η εν εαυτώ συνέχεια τον καθιστά διακριτό από άλλους βαθμούς και έτσι εκτατικό μέγεθος. Ο Βαθμός είναι ταυτόχρονα εντατικό και εκτατικό μεγέθος – είναι βαθμός και ταυτόχρονα βαθμοί, είναι ένα ποσό και ταυτόχρονα πολλά ποσά, είναι ο εαυτός του και το έτερόν του.
Ο βαθμός είναι το εντατικό (συνεχές) ποσό που μπορούμε να το δούμε και ως εκτατικό ή κατακερματισμένο. Σε ένα κόκκινο χρώμα μπορούμε να φανταστούμε ότι αυξάνουμε την ένταση του (το καθιστούμε πιο «γεμάτο κόκκινο») μέσα από από μια συνεχή μεταβολή της κοκκινότητας. Δεν μπορούμε όμως να αποδώσουμε στην κοκκινότητα κάποιο μέγεθος να την εκφράσουμε ως ποσό, παρά μόνο εάν την συνδέσουμε με κάποιο εκτατικό μέγεθος (π.χ. πυκνότητα της χρωστικής ουσίας), οπότε διαμορφώνουμε κάποιο είδος βαθμού. Η θερμοκρασία εκφράζεται σε βαθμούς, διότι συνδέει κάποιο εκτατικό μέγεθος, π.χ. τη μέση κινητική ενέργεια ενός σώματος (π.χ. του υδραργύρου) με το εντατικό μέγεθος της «ζέστης», πόσο ζεστό είναι το ίδιο σώμα.
2. 6. Ο Βαθμός, ως ποσό που είναι ποσά, είναι ως ασυνεχής Μονάδα εντός της οποίας συναιρούνται τα άλλα ποσά, είναι Ποσοτικό Όριο. Ως συνεχής όμως ο Βαθμός είναι πέραν του εαυτού του ως ποσοτικού ορίου, είναι στους άλλους βαθμούς, οι οποίοι είναι επίσης ποσοτικά όρια, τα οποία επίσης βαίνουν πέραν των εαυτών τους· έτσι προκύπτει η Ποσοτική αναγωγή στο Άπειρο. Η Αναγωγή στο άπειρο καταρρέει, καθώς επιστρέφει συνεχώς στο ποσοτικό όριο, στον Βαθμό ως Μονάδα. Το ποσοτικό όριο θέτει πάλι την ποσοτική αναγωγή στο άπειρο, και ο κύκλος συνεχίζεται. Εκείνο, στο οποίο οι δύο πλευρές επομένως συναιρούνται, και το οποίο συνιστά αληθώς ποσοτικό όριο και αναγωγή στο άπειρο ( το αληθές ποσοτικό άπειρο), είναι το Απειροστικό.
(Το κατ’ εξοχήν άπειρον ποσό είναι ομού αναγωγή στο άπειρο και ταυτόχρονα πεπερασμένο ποσό. Σε αυτό αντιστοιχούν μαθηματικές ακολουθίες άπειρων όρων που τείνουν προς ένα πεπερασμένο ποσό, π.χ. 1+1/2+1/4+1/8…..)
Παρατήρηση: Ο λεγόμενος «απειροστικός λογισμός» επιδιώκει ως διαφορικός να υπολογίσει το κατά διαίρεσιν απειροστό, και ως ολοκληρωτικός το κατά πρόσθεσιν απειροστό. Το απειροστό δεν είναι συγκεκριμένο αποτέλεσμα, είναι ένας αριθμός που συνιστά νοητό όριο προς το οποίο τείνει μία άπειρη ακολουθία παραγόντων. Στο απειροστικό έχει επομένως ξεπεραστεί η ποσότητα ως συγκεκριμένη, ως ποσό. Αναδεικνύεται πλέον ως ιδεατή ποσότητα. Το ποσό είναι ως αναζητούμενο, ως ιδέα που κινεί την όλη διαδικασία, την πράξη. Η πράξη εν προκειμένω καθίσταται πράγματι αριθμός και όχι μόνο εξωτερικός συσχετισμός αριθμών.
Εν προκειμένω βλέπουμε να αναδύεται το αληθές ποσοτικό άπειρο. Το λεγόμενο «απειροσύνολο» δεν αποτελεί όντως ποσοτικό άπειρο, διότι είναι μόνο δυνάμει. Το απειροστικό είναι όμως αληθώς ποσοτικό άπειρο, είναι ενεργεία διότι η διαδικασία της πράξεως που το παράγει είναι μεν ατελεύτητη, αλλά επίσης και τετελεσμένη, έχει ως αποτέλεσμα το απειροστικό. Το απειροστικό είναι ό,τι είναι ως ενέργεια, δια της πράξεως που το παράγει.
Στο απειροστικό, το οποίο είναι και δεν είναι συγκεκριμένος αριθμός (εξαρτάται τι θα θέσουμε ως όριο της ακολουθίας), δηλώνεται το ποσό ως ιδεατό ποσό, ως η ιδέα που κατευθύνει τη διαδικασία της πράξεως, επομένως ως ποσό που είναι ενότητα ποσών. Έτσι η συγκεκριμένη ποσότητα αναιρείται στην ποσότητα, η οποία ως συγκεκριμένη είναι και καθολική, τα εν σχέσει ποσά.
3. Η συγκεκριμένα καθολική ποσότητα
Παρατήρηση: Το αληθώς άπειρο ποσό συνιστά υπέρβαση του συγκεκριμένου ποσού και επομένως επιστροφή στην καθολικότητα της ποσότητας, η οποία πάλι οδηγεί στη συγκεκριμένη ποσότητα κλπ. Έτσι αποδεικνύεται ότι η αληθής ποσότητα είναι συγκεκριμένα-καθολική. Tα εν σχέσει ποσά είναι μεν ποσά αλλά είναι και η μεταξύ τους σχέση, η ενότητά τους. Στην αμιγή ποσότητα ως α-κοινωνησία δεν φτάνουμε ποτέ στην πλήρη ενότητα, διότι αυτή είναι η κοινωνία. Ωστόσο, η ενότητα λαμβάνει εκείνη τη μορφή, η οποία είναι δυνατή στο πεδίο της α-κοινωνησίας. Εν προκειμένω τα συγκεκριμένα ποσά σχετίζονται, όχι όπως στην πράξη, όπου ο συσχετισμός των ποσών είναι εξωτερικός, και το αποτέλεσμα είναι πάλι συγκεκριμένο ποσό και τρίτον τι σε σχέση με τα συσχετιζόμενα, αλλά δημιουργούν κάποια ενότητα. Στην συσχέτιση των ποσών υπάγονται η αναλογία, η συνάρτηση και η μαθηματική ομάδα.
3.1. Αναλογία
Η σχέση ποσών, ως συγκεκριμένα-καθολική ποσότητα, είναι τόσο ποσά όσο και ποσότητα. Όταν η πλευρά της καθολικότητας σχετίζεται άμεσα με την πλευρά των συγκεκριμένων ποσών, έχουμε την αναλογία.
Παρατήρηση: Στην αναλογία είναι π.χ. το 2, η πλευρά της καθολικότητας, η οποία εκφέρεται μέσω πολλών διαφορετικών κλασμάτων (2/1 =4/2= 6/3=2). Ο αριθμητής και ο παρονομαστής στα κλάσματα είναι αριθμοί (δηλαδή ποσά, συγκεκριμένες ποσότητες). Ο αριθμός 2 είναι το παραμένον, η πλευρά της ενότητας, ενώ ο αριθμητής και ο παρονομαστής ποικίλλουν. Η αναλογία είναι μόνο άμεση συγκεκριμένα-καθολική ποσότητα, και στις δύο πλευρές της βρίσκονται απλώς συγκεκριμένα ποσά, τα οποία σχετίζονται εξωτερικά. Το ζητούμενο είναι, και οι δύο πλευρές, τόσο αυτή της ενότητας, όσο και αυτή που ποικίλλει, η πλευρά της διαφοράς να τεθούν ως συγκεκριμένα-καθολικά. Το 4/2 είναι βεβαίως ίσο με το 2, αλλά εξωτερικώ τω τρόπω· δεν είναι δηλαδή το 2 το οποίο θέτει τον εαυτό του ως 4/2 ή 6/3 (εμείς τα νοούμε ως ίσα). Επομένως η ενότητα της αναλογίας ως συσχετίσεως ποσών είναι και δεν είναι ενότητα· το 2 δεν είναι 4/2 κατά την ουσία του, αλλά μόνο επειδή λαμβάνει χώρα η πράξη της διαίρεσης δια του κλάσματος.
3.2. Συνάρτηση
Η αναλογία είναι συγκεκριμένα-καθολική ποσότητα· η πλευρά της ενότητάς της, εκφερόμενη ως αναλογία, είναι ο τύπος, ενώ η πλευρά της ποικιλλία της, εκφερόμενη ως αναλογία, είναι τα πεδία ορισμού και τιμών, τα οποία συναιρούμενα συνιστούν τη συνάρτηση.
Παρατήρηση: Στην αναλογία δεν είχαμε ακόμα κάποια αληθή καθολικά-συγκεκριμένη ποσότητα. Αυτό λαμβάνει χώρα στην συνάρτηση, όπου τόσο η πλευρά της ενότητας όσο και εκείνη της διαφοράς, η πλευρά των συγκεκριμένων τιμών, προκύπτουν από το ίδιο, δηλαδή από τον τύπο που εκφέρει την συνάρτηση: όταν λέμε, π.χ. f(x) =x2, έχουμε μια έκφραση σχετικά με την σχέση αριθμών, συγκεκριμένων ποσών (τα οποία συγκαταλέγονται στα πεδία ορισμού και τιμών). Υπό την μορφή f(x) =x2, η συνάρτηση είναι πλήρως ανεξάρτητη από τους συγκεκριμένους αριθμούς. Αυτοί προκύπτουν από την καθολική έκφραση, τον τύπο, και τα σχετικά πεδία. Επομένως, στην συνάρτηση η πλευρά των συγκεκριμένων ποσών προκύπτει όντως από την πλευρά της ενότητας, δηλαδή οι συγκεκριμένοι αριθμοί προκύπτουν από την σχέση, από την καθολική πλευρά. Εν προκειμένω ο τύπος, η πλευρά της ενότητας διακρίνεται μεν από τα συγκεκριμένα ποσά, αλλά σχετίζεται κατ’ ουσίαν με αυτά, όπως και τα ποσά σχετίζονται μεταξύ τους δια του τύπου. Αυτό το οποίο ακόμα λείπει, είναι το να τεθεί και η πλευρά της πολλότητας, οι συγκεκριμένοι αριθμοί αφ’ εαυτών ως ενότητα, και να συστήσουν ένα «σύστημα αριθμών».
Παρατήρηση: Στη συνάρτηση θεωρούμε ότι κάθε συγκεκριμένο ποσό ενός πεδίου συσχετίζεται με ένα άλλο συγκεκριμένο ποσό. Ο τύπος της συνάρτησης δηλώνει τη συσχέτιση. Το ότι η συσχέτιση είναι αναγκαία δεν φανερώνεται μέσα από τα ίδια τα συσχετιζόμενα ποσά. Η αναγκαιότητα της συχέτισης καθίσταται φανερή μέσω της αναφοράς σε κάποιο φυσικό περιεχόμενο. Στην συνάρτησή f(x) =x2 τότε μόνο τότε βλέπουμε την αναγκαιότητα της συσχετίσεως, όταν ταυτίσουμε τη συνάρτηση με τη βαρυτική επιτάχυνση· τότε βλέπουμε ότι σε κάθε τιμή που αποδίδεται στο χρόνο (1sec, 2sec, κλπ.), αντιστοιχεί κατ’ ανάγκη το τετράγωνο της διανυθείσας απόστασης, αλλιώς δεν έχουμε βαρυτική επιτάχυνση. Στην μαθηματική έκφραση κάθε συνάρτησης η αναγκαιότητα της συσχέτισης δεν είναι φανερή, αλλά, πάντως, την αξιώνουμε. Επομένως, η συνάρτηση εκφράζει συσχετισμό ποσών, όπου η διαφορά εκφέρεται με τα διάφορα ποσά, τα οποία ανήκουν σε διαφορετικά πεδία, και η ενότητά τους είναι η ίδια η συνάρτηση στη μορφή της εξίσωσης.
Η επιτάχυνση είναι μεν φυσικό μέγεθος, αλλά της αντιστοιχεί ένα είδος αμιγούς ποσότητας, η συνάρτηση που την εκφράζει (το ότι είναι επίσης διάνυσμα, ανήκει στην έννοια του φυσικού μεγέθους). Η επιτάχυνση είναι σταθερή, είναι το όλον το οποίο διατηρείται, αν και οι συνιστώσες του παίρνουν μεταβαλλόμενες τιμές. Το όλον διατηρείται, διότι οι τιμές του χρόνου συμμεταβάλλονται με εκείνες της μετατόπισης. Αντίστοιχα η συνάρτηση επίσης διατηρείται· είναι η ενότητα ανάμεσα στις τιμές του ενός πεδίου και στις τιμές του άλλου πεδίου. Στη συνάρτηση η πλευρά της καθολικότητας, ο τύπος, καθορίζει την πλευρά της διαφοράς, της ποικιλλίας, τα συγκεκριμένα ποσά, αλλά μόνο υπό το πρίσμα ότι υπάρχει κάποιο πεδίο ορισμού. Τα συγκεκριμένα ποσά επομένως δεν καθορίζονται αφ’ εαυτών να αποτελούν ενότητα, αλλά μόνο δια της συναρτήσεως. Η πλευρά των συγκεκριμένων ποσών δεν αυτοκαθορίζεται. Επομένως, η συνάρτηση δεν αποτελεί ακόμα ένα αυτοκαθοριζόμενη ολότητα ποσών.
3.2. Μαθηματική ομάδα
Οι δύο πλευρές της συνάρτησης είναι και οι δύο συσχετίσεις ποσών, την μία φορά όμως ως ενότητα (εκφρασμένη δια του τύπου), την άλλη φορά εκφρασμένη ως απεικόνιση (mapping) ανάμεσα στα σύνολα τιμών. Εφόσον τα πεδία ορισμού και τιμών συναιρεθούν με τον τύπο, προκύπτει η μαθηματική ομάδα.
Η συναίρεση, δια της οποίας η συνάρτηση καθίσταται ομάδα, προϋποθέτει ότι τα πεδία καθίστανται ένα πεδίο, το σύνολο εντός του οποίου ισχύει η ομάδα, και ο τύπος καθίσταται μία εσωτερική συσχέτιση των μελών αυτού του συνόλου, η σύνθεση (composition rule) που χαρακτηρίζει την εκάστοτε ομάδα.
Παρατήρηση: Τα αληθώς συσχετιζόμενα ποσά συνιστούν ομάδα, η οποία αποτελεί σύστημα στο πλαίσιο της κατηγορίας της ποσότητας. Στην ομάδα ως ποσοτικό σύστημα δηλώνονται τα ποσά ως κατ’ ουσίαν συσχετισμένα. Σε αυτήν τα ποσά δεν είναι απλώς συγκεκριμένες ποσότητες, αλλά υπάρχουν με τέτοιον τρόπο, ώστε το συγκεκριμένο του ενός ποσού να είναι μέσω του συγκεκριμένου ενός άλλου ποσού (το ένα ποσό είναι δια του άλλου). Τα ποσά δηλώνονται στο πλαίσιο της ομάδας ως μέρη ενός όλου· είναι, παράγοντας την ενότητά τους· και η ενότητά τους είναι, παράγοντάς τα ως συγκεριμένα ποσά. Ενώ στη συνάρτηση τα ποσά προέρχοντο από την πλευρά της ενότητας, τώρα προκύπτει και η ενότητα από την πλευρά των ποσών. Οι δύο πλευρές καθορίζονται αμοιβαία, οπότε προκύπτει ένα ποσοτικό σύστημα. Στην ομάδα τα ποσά καθίστανται αληθείς ατομικές, κάτι το οποίο δεν μπορούσαν να είναι στην συνάρτηση, η οποία ήταν άτομο μόνο ως ολότητα.
Τελικές παρατηρήσεις
Είδαμε λοπόν ότι οι κατηγορίες της ποσότητας μπορούν να διατυπωθούν κατά το πρότυπο των κατηγοριών της ποιότητας, και υπό το πρίσμα ότι η αμιγής ποσότητα νοείται ως α-κοινωνησία. Το παρόν κείμενο αποτελεί βασικό σχεδιάγραμμα αυτών των εννοιών και μπορεί να αναπτυχθεί πολλαχώς. Αν και με ποιο τρόπο η καθολικά-συγκεκριμένη ποσότητα μπορεί να νοηθεί και ως ατομική ολότητα, δηλαδή ως αλληλοπεριχωρούμενη, συνιστά για εμάς απορία. (Αν κάποιος μαθηματικός έχει κάποια ιδέα επ’ αυτού θα στρέφαμε ευήκοα τα ώτα).
Σημειωτέον και το εξής: όπως είδαμε, η ποσότητα δεν μπορεί να νοηθεί επιτυχώς παρά μόνο υπό το πρίσμα της έννοιας της κοινωνίας. Αυτό σημαίνει ότι η κατανόηση ακόμα και σε εκείνα τα πεδία που θεωρούνται άκρως θετικά και ήκιστα πνευματικά, στα οποία κυριαρχεί υποτίθεται ο ανθρώπινος λόγος (ωσάν να υπάρχει και άλλο είδος λόγου), ακόμα και σε αυτά λοιπόν, η αληθινή κατανόηση προκύπτει από τον λόγο και την αληθή ουσία του παντός, την κοινωνία. Σε όλα λοιπόν βλέπουμε το θεϊκό στοιχείο και μόνο τότε τα κατανοούμε.
πηγή: Aντίφωνο
