Η αντίληψη του Εγέλου περί φύσεως

Στο 44ο λεπτό της εισήγησής σου, Παύλο, “δηλητηριάζεις το πηγάδι”. Γιατί να πάρεις, δηλαδή ένα εγχειρίδιο του δημοτικού; Ο ορισμός του αριθμού δίδεται όχι στα εγχειρίδια του δημοτικού αλλά στην θεωρία αριθμών με χρήση θεωρίας συνόλων και δεν ενέχει κυκλικότητα. Δεν θα μπορούσαμε, βεβαίως, να πούμε στα πιτσιρίκια τι είναι ο αριθμός με όρους συνόλων, έτσι δεν είναι; Απέναντι σε σχολιαρόπαιδα χρησιμοποιούμε μία διαισθητική, διδακτική διατύπωση.

Αγαπητέ Ευβοέα

η παρατήρησή σου με έβαλε σε σκέψεις. Από όσα διαβάζω για τη θεωρία συνόλων, δεν βλέπω πώς μπορεί να μας οδηγήσει σε ένα αληθή ορισμό του αριθμού. (Βέβαια, το τί είναι, κατά την άποψή μου, αληθής ορισμός, οφείλω να το παρουσιάσω αναλυτικά. Και θα το κάνω σύντομα.)

Σου ζητάω λοιπόν να με βοηθήσεις, εξηγώντας από ποια άποψη θεωρείς ότι η θεωρία συνόλων ορίζει την έννοια του αριθμού. Λέγοντας ότι ο αριθμός είναι “σύνολο” ή μέσω της αξιωματικής διατύπωσής της θεωρίας συνόλων από Zermelo-Fraenkel;

Στη συνέχεια θα μπορούσα να απαντήσω πιο συγκεκριμένα.

Φίλτατε Παύλο,

όλοι οι ορισμοί είναι αληθείς, εφ’ όσον τους έχουμε αποδεχθεί ως τέτοιους. Το θέμα είναι: είναι ακριβείς σ’ ό,τι αφορά την διαισθητική μας κατανόηση του οριζομένου;

Ως προς τούτο θα μπορούσες να φέρεις αντιρρήσεις στον συνολοθεωρητικό ορισμό του αριθμού. Πάντως είναι ο ορισμός τον οποίον αποδέχονται οι μαθηματικοί. Δηλαδή: ο αριθμός 1 είναι το σύνολο των συνόλων με πληθικό αριθμό 1, δηλαδή το σύνολο των μονοσυνόλων. Ο αριθμός 2 είναι το σύνολο των συνόλων με πληθικό αριθμό 2 κ.ο.κ. Το ότι η λέξη “αριθμός” εμφανίζεται στο ορίζον δεν συνιστά κυκλικό ορισμό: παίρνουμε απλά το πλήθος αντικειμένων μέσα σ’ένα σύνολο. π.χ. το σύνολο των χωρών που έχουν ως επίσημη γλώσσα τα ελληνικά, χωρίς να “ξέρουμε” ποιος είναι ο αριθμός, και βάζουμε στην ίδια “κατσαρόλα” όλα (μα όλα!) τα ισοδύναμα σύνολα. Μετά δίνουμε ένα όνομα σ’ όλα όσα έχουμε στην “κατσαρόλα” – προφανώς στο παράδειγμά μας το όνομα “δύο” (σε δύο χώρες, στην Ελλάδα και στην Κύπρο, είναι επίσημη γλώσσα τα ελληνικά). Όταν, λοιπόν, λέμε πληθικός αριθμός δεν υπονοούμε ότι γνωρίζουμε τον αριθμό. Αυτό δεν είναι διόλου εξωτική αντίληψη. Στον στρατό είχα έναν φαντάρο στην ομάδα μου, έναν βοσκό από την Κρήτη – ας μην πω από ποιό χωριό, αν και σε όσους έχουν κάποια ιδέα από τον νομό Ηρακλείου θα είναι μάλλον σαφές – του οποίου οι γονείς απέρριπταν το σχολείο και κάθε θεσμό εν γένει πέρα από εκείνον της οικογένειας. Δεν τον έστειλαν λοιπόν στο σχολείο. Ο φαντάρος είχε πρόβλημα στην κατανόηση διψήφιων αριθμών, πόσο μάλλον τριψήφιων. Αν του έλειπε ένα πρόβατο ήξερε ακριβώς ποιό πρόβατο του έλειπε, διότι ήξερε πώς μοιάζει κάθε πρόβατο. Αλλά δεν ήξερε πόσα πρόβατα είχε. Κάπως έτσι κατανοεί ο μαθηματικός τον πληθικό αριθμό. Και με μία ένα προς ένα απεικόνιση μπορεί να ξέρει ποιά άλλα σύνολα πέρα από ένα δεδομένο, έχουν τον ίδιο πληθικό αριθμό. Δεν νομίζω ότι υπάρχουν σοβαρές αντιρρήσεις προς τους ανωτέρω ορισμούς του ενός, του δύο κ.ο.κ. Υπάρχει μία παραδοσιακή αντίρρηση, μία αντίρρηση με νεοκαντιανή ιστορία μάλιστα, ότι για μία απεικόνιση ένα προς ένα χρειάζεσαι να ορίσεις το ένα. Δεν είμαι αυτής της άποψης. Αλλά και τι επιχειρήματα να φέρει κανείς εδώ; Ο ένας λέει “είμαι νεοκαντιανός και χρειάζομαι έναν ορισμό για το ένα”, ο άλλος λέει “ΟΚ, εγώ δεν είμαι νεοκαντιανός”.