του Τεύκρου Μιχαηλίδη*
{mosimage}Mια μαθηματική θεωρία οικοδομείται πάνω σε αξιώματα, προτάσεις που γίνονται δεκτές ως αληθείς χωρίς απόδειξη και που η επιλογή τους ανήκει στη διακριτική ευχέρεια του δημιουργού, που αναλαμβάνει ωστόσο την υποχρέωση να αποδείξει τη μη αντιφατικότητα των επιλογών του
Τον παλιό καλό καιρό όλα ήταν πιο απλά. Πηγαίναμε στο σινεμά, βλέπαμε τους κακούς Ινδιάνους (που εκτός από τα άλλα στραβά τους μιλούσαν και απαίσια αγγλικά – και στους υπότιτλους σπασμένα ελληνικά) να προβαίνουν, έτσι από βίτσιο, σ’ ένα σωρό βαρβαρότητες, να σφάζουν γέρους, μανάδες και μωρά κι ύστερα τους καλούς καουμπόηδες να νικάνε τους Ινδιάνους και το δίκιο να θριαμβεύει.
Δεν υπήρχε η παραμικρή αμφιβολία για το ποιοι είναι οι «καλοί» και ποιοι οι «κακοί». Ακόμα κι αυτοί που συνειδητοποιούσαν ότι οι «κακοί» Ινδιάνοι βρισκόντουσαν στον τόπο τους και αντιμετώπιζαν μια ξένη εισβολή, ακόμα κι αυτοί που γνώριζαν λεπτομέρειες για τη γενοκτονία τους δεν είχαν παρά δύο επιλογές. Ή τάσσονταν με το μέρος αυτού που ο σκηνοθέτης είχε δηλώσει ως «καλό» ή έφευγαν στη μέση του έργου.
Το ίδιο ισχύει με τις κατασκοπευτικές ταινίες. Δεν πάει να είσαι προοδευτικός, αριστερός, αντιιμπεριαλιστής… Ή θα ταυτιστείς με τον καλό Αγγλοαμερικάνο πράκτορα, θα αγωνιάς όταν κινδυνεύει από τους ύπουλους Ρώσους, τους αιμοσταγείς Βιετναμέζους, τους μοχθηρούς Τουπαμάρος και θα χαίρεσαι όταν πέραν πάσης προσδοκίας καταφέρνει να τους νικήσει ή… δεν πας να δεις το έργο.
«Καλός» στο σινεμά δεν είναι αυτός που η ιδεολογία σου, η λογική σου, οι γνώσεις σου υπαγορεύουν, αλλά αυτός που ο δημιουργός της ταινίας καθορίζει με δική του αποκλειστικά απόφαση ως «καλό». Βεβαίως οφείλει να στηρίξει την επιλογή του με ένα συνεπές πλαίσιο θέσεων. Ο καλός οφείλει να εμφανίζεται ως αισθηματίας – ή ως σκληρός και αδίστακτος αλλά κατά βάθος αισθηματίας. Αν κάνει και καμιά παλιανθρωπιά οφείλει να την κάνει για καλό σκοπό και για να εμποδίσει την πολύ χειρότερη συμπεριφορά των κακών. Αν είναι και λιγουλάκι παλιοχαρακτήρας αυτό πρέπει να οφείλεται στα δύσκολα παιδικά ή νεανικά του χρόνια. Άλλωστε, μέσα από τον αγώνα του ενάντια στους κακούς εξαγνίζεται, καθαγιάζεται, εξημερώνεται, γίνεται πραγματικά καλός. Ως γνωστόν, οι κακοί είχαν ανέκαθεν ευτυχισμένη και ανέμελη παιδική ηλικία. Απλώς γεννήθηκαν κακοί.
Κάπως έτσι λειτουργούν και τα Μαθηματικά. Όσο αυθαίρετη και στη διακριτική ευχέρεια του δημιουργού είναι η επιλογή του «καλού» στο σινεμά, άλλο τόσο αυθαίρετη είναι η επιλογή των αξιωμάτων, των θεμελιωδών δηλαδή προτάσεων που χαρακτηρίζονται χωρίς απόδειξη ως αληθείς και πάνω στις οποίες στηρίζεται η παραγωγική – αποδεικτική διαδικασία με την οποία οικοδομείται μια μαθηματική θεωρία. H μόνη υποχρέωση του μαθηματικού που χτίζει με αυτό τον τρόπο ένα αξιωματικό σύστημα είναι η «συνέπεια», η εξασφάλιση δηλαδή ότι οι προτάσεις που επέλεξε ως αξιώματα δεν οδηγούν σε κάποια αντίφαση, σε κάποια πρόταση δηλαδή που να είναι ταυτόχρονα αληθής και ψευδής.
Πατέρας της αξιωματικής μεθόδου είναι ο Ευκλείδης. Ελάχιστα είναι γνωστά για τη ζωή του. Έζησε στην Αλεξάνδρεια, γύρω στο 300 π.X. και εργάστηκε στο Μουσείο και τη Βιβλιοθήκη της. Έγραψε αρκετά βιβλία, μερικά από τα οποία χάθηκαν ή σώζονται μόνο σε αραβική μετάφραση. Κορυφαίο έργο του, αδιαμφισβήτητο μπεστ σέλερ είναι το σύγγραμμα που έχει κάνει – μετά την Αγία Γραφή – τις περισσότερες εκδόσεις στον κόσμο: H Στοιχείωσις ή, όπως επικράτησε να ονομάζεται αργότερα, Τα Στοιχεία. Μέσα σε δεκατρία βιβλία, ο Ευκλείδης – επικεφαλής προφανώς κάποιας ομάδας συνεργατών – κατόρθωσε να συγκεντρώσει, να νοικοκυρέψει και να καταγράψει όλες τις μαθηματικές γνώσεις της εποχής του. Το έργο ξεκινά με 23 ορισμούς των βασικών γεωμετρικών εννοιών και στη συνέχεια διατυπώνονται τα πέντε «αιτήματα», δηλαδή οι προτάσεις που ο Ευκλείδης αυθαίρετα επιλέγει να δεχθεί χωρίς απόδειξη. Στη συνέχεια χτίζει τη Γεωμετρία του επιπέδου αποδεικνύοντας κάθε νέα πρόταση στηριζόμενος μόνο στα αιτήματα και τις προτάσεις που έχει ήδη αποδείξει.
Πέντε αιτήματα διαχρονικά
Τα τέσσερα πρώτα αιτήματα του Ευκλείδη ήταν απλές προτάσεις, λίγο πολύ αυτονόητες, και δεν δημιούργησαν, τουλάχιστον στην αρχή, κανένα πρόβλημα. Αντίθετα το πέμπτο αίτημα είχε πολύ πιο περίπλοκη διατύπωση. Το πέμπτο αίτημα που είναι διατυπωμένο ως εξής: Αν μια ευθεία που τέμνει δύο άλλες σχηματίζει με αυτές δύο εντός και επί τα αυτά γωνίες με άθροισμα μικρότερο των δύο ορθών, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος που βρίσκονται οι γωνίες αυτές, δημιούργησε από την πρώτη στιγμή προβλήματα. Οι περισσότεροι μαθηματικοί προσπάθησαν, μάταια, να το αποδείξουν. Το καλύτερο που κατάφεραν ήταν να βρουν ισοδύναμες με αυτό προτάσεις με απλούστερη διατύπωση. Μια απ’ αυτές είναι και η γνωστή ως «αξίωμα των παραλλήλων»: Από σημείο εκτός δοσμένης ευθείας άγεται μία και μόνο παράλληλη προς αυτή.
H προσπάθεια για την απόδειξη του πέμπτου αιτήματος συνεχίστηκε μέχρι τον δέκατο ένατο αιώνα. Και τότε, ανεξάρτητα αλλά σχεδόν ταυτόχρονα, ένας Ούγγρος, ο Janos Bolyai (1802 – 1860) κι ένας Ρώσος, o Nikolai Lobachevsky (1792 – 1856) με τις «ευλογίες» του Gauss παρουσίασαν ένα εναλλακτικό αξιωματικό σύστημα στο οποίο το πέμπτο αίτημα αντικαθίσταται από μια πρόταση που το αναιρεί! Σε πολύ γενικές γραμμές το νέο αξίωμα είχε ως συνέπεια ότι από ένα σημείο εκτός ευθείας άγονται περισσότερες από μία παράλληλες προς αυτήν. (Κάτι σαν τον «Κατάσκοπο που γύρισε απ’ το κρύο» γυρισμένο από τη σκοπιά των Σοβιετικών). Αυτή η καινούργια «Υπερβολική», όπως ονομάστηκε, Γεωμετρία αποδείχθηκε το ίδιο συνεπής – δηλαδή χωρίς αντιφάσεις με την Ευκλείδεια. Λίγο αργότερα, ο Bernard Riemann (1826 – 1866) πρότεινε ένα τρίτο αξιωματικό σύστημα στα πλαίσια του οποίου από ένα σημείο εκτός ευθείας δεν άγεται καμία παράλληλη προς αυτήν. Και αυτό το αξιωματικό σύστημα αποδείχθηκε μη αντιφατικό. H αντίστοιχη Γεωμετρία ονομάστηκε «Ελλειπτική» και λίγα χρόνια αργότερα ο Αϊνστάιν τη χρησιμοποίησε ως μαθηματικό υπόβαθρο για τη Θεωρία της Σχετικότητας.
Μυθοπλασία κόντρα στην κινηματογραφική λογική
Είναι τα Μαθηματικά το ίδιο αποπροσανατολιστικά και προπαγανδιστικά με τις χολιγουντιανές υπερπαραγωγές; Προσοχή στην κρίσιμη διαφορά: Στα Μαθηματικά τα αξιώματα δηλώνονται με σαφήνεια από την αρχή και πουθενά στη συνέχεια δεν επιχειρείται μέσα από την ανάπτυξη της θεωρίας που θεμελιώνουν η δικαιολόγηση – πόσο μάλλον η απόδειξή τους. Αντίθετα στην κινηματογραφική αλλά και στη λογοτεχνική μυθοπλασία τα «αξιώματα» υπάρχουν στο μυαλό του δημιουργού και η όλη σκηνοθεσία επιχειρεί να τα «αποδείξει» μέσα από τη συναισθηματική φόρτιση και τη μαγεία των εφέ, παραβιάζοντας κατάφωρα τους βασικούς κανόνες της μαθηματικής λογικής. Κι αν κάτι τέτοιο είναι – ως ένα βαθμό – θεμιτό σε έργα που στοχεύουν στο να διασκεδάσουν και όχι να πείσουν το κοινό τους, τι να πει κανείς για τα δελτία ειδήσεων και τις ενημερωτικές – τηλεοπτικές κυρίως – εκπομπές που συχνά χρησιμοποιούν την ίδια μέθοδο…
Για περισσότερα, το μυθιστόρημα του Ίαν Στιούαρτ «Φλάτερλαντ» (Εκδόσεις Τραυλού) αποτελεί μια εύληπτη εισαγωγή στις διάφορες γεωμετρίες.
*Ο Τεύκρος Μιχαηλίδης είναι διδάκτωρ των Μαθηματικών. Εργάζεται ως καθηγητής στη Μέση Εκπαίδευση και ως μεταφραστής.
πηγή: ΤΑ ΝΕΑ , 06-11-2003
