Απόστολος Συρόπουλος*
Το 1928 κατά τη διάρκεια του «Διεθνούς Κογκρέσου Μαθηματικών» που διεξήχθει στην Bologna, ο Hilbert παρουσίασε ένα νέο πρόβλημα που είναι πια γνωστό entscheidungsproblem, δηλαδή ένα πρόβλημα το οποίο μπορεί να απαντηθεί με ένα «ναι» ή με ένα «όχι». Σήμερα τα προβλήματα αυτά είναι γνωστά ως προβλήματα απόφασης. Με αυτό το νέο πρόβλημα ο Hilbert επιθυμούσε να απαντηθεί ένα σημαντικό πρόβλημα: αν για κάθε λογής λογισμό (δηλαδή ένα απλό σύστημα όπως για παράδειγμα η αριθμητική όπου με πράξεις παράγουμε νέους αριθμούς) μπορούμε αποδείξουμε θεωρήματα με έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων, αν κάθε αληθινή πρόταση που μπορεί να εκφρασθεί σ' έναν συγκεκριμένο λογισμό μπορεί να εξαχθεί από τα αξιώματα του συστήματος και, τέλος, αν ο λογισμός δεν παράγει αντιφατικές προτάσεις. Αν το όνειρο του Hilbert είχε γίνει πραγματικότητα, πολύ πιθανά να είχε φτάσει το τέλος των μαθηματικών και ίσως και της ίδιας της επιστήμης!
Τρία χρόνια μετά την ομιλία του Hilbert στη Bologna ένας νεαρός Αυστριακός μαθηματικός ονόματι Kurt Gödel δημοσίευσε μία από τις σημαντικότερες εργασίες του 20ου αιώνα η οποία μετέτρεψε το όνειρο του Hilbert σε εφιάλτη. Πιο συγκεκριμένα, ο Gödel όρισε έναν λογισμό, ο οποίος ας πούμε πως αναπαριστούσε μια μορφή της απλής αριθμητικής και στη συνέχεια απέδειξε ότι υπάρχουν προτάσεις (παραστάσεις στον λογισμό αυτό) για τις οποίες δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν είναι αληθινές ή όχι. Με άλλα λόγια, ο Gödel έδειξε πως υπάρχουν προβλήματα απόφασης τα οποία δεν μπορούν ν' απαντηθούν με ένα ναι ή ένα όχι!
Μερικά χρόνια αργότερα ο Alonzo Church παρουσίασε ένα νέο λογισμό που είναι πια γνωστός ως λογισμός λ. Επί της ουσίας ο Church προσπάθησε να ορίσει έναν λογισμό στον οποίο θα μπορούσαν να εκφρασθούν όλα τα προβλήματα των μαθηματικών. Δυστυχώς, ούτε το όνειρο του Church έγινε πραγματικότητα. Ο Stephen Cole Kleene και ο John Barkley Rosser απέδειξαν πως είναι δυνατόν να αποδείξουμε αντιφατικές προτάσεις στον λογισμό λ. Αργότερα, ο ίδιος ο Church έδειξε πως μια περιορισμένη μορφή του λογισμού του περιέχει μια βασική αδυναμία: Δεν είναι δυνατόν να αποφανθούμε για το αν δύο προτάσεις είναι ίδιες ή όχι. Επίσης, ο Church πήγε ένα βήμα παρακάτω και έδειξε πως το entscheidungsproblem δεν λύνεται.
Την ίδια περίπου εποχή που λάμβαναν χώρα αυτές σημαντικότατες εξελίξεις, ο Alan Mathison Turing παρουσίασε μία νοητή μηχανή η οποία έμελλε να παίξει κεντρικό ρόλο στην ανάπτυξη της πληροφορικής. Η μηχανή αυτή σήμερα είναι γνωστή ως μηχανή Turing. Μια μηχανή Turing αποτελείται από μία ταινία απείρου μήκους η οποία διαιρείται σε κελιά. Μια κεφαλή ανάγνωσης-εγγραφής μπορεί να διαβάζει και να γράφει πληροφορίες στο κελί πάνω από το οποίο βρίσκεται η κεφαλή. Σε κάθε στιγμή η μηχανή βρίσκεται σε μία κατάσταση η οποία μαζί με το σύμβολο που μόλις έχει αναγνώσει η συσκευή ανάγνωσης-εγγραφής καθορίζουν σε ποια κατάσταση θα περιέρθει η μηχανή, τι θα τυπωθεί στο κελί ή αν απλά η κεφαλή θα μετακινηθεί δεξιά η αριστερά του κελιού πάνω από το οποίο βρίσκεται η συσκευή ανάγνωσης-εγγραφής. Το τι θα συμβεί σε κάθε περίπτωση καθορίζεται από έναν πίνακα εντολών. Ο Turing σχεδίασε και μια καθολική μηχανή Turing η οποία μπορεί να προσομοιώσει την λειτουργία μιας οποιαδήποτε απλής μηχανής Turing. Μάλιστα αρκετοί ισχυρίζονται πως η καθολική μηχανή Turing ουσιαστικά αποτέλεσε την ιδέα που ενέπνευσε το σχεδιασμό και την κατασκευή των πρώτων γενικών ηλεκτρονικών υπολογιστών. Επιπλέον, ο Turing έδειξε κάτι πολύ ενδιαφέρον για τη καθολική μηχανή Turing. Το πρόβλημά του εκφρασμένο σε σύγχρονους όρους είναι πως αν ένα πρόγραμμα δεν «αποκρίνεται», τότε δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν έχει «κολλήσει» ή αν απλά κάνει κάποιους πολύ δύσκολους υπολογισμούς. Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως το πρόβλημα τερματισμού. Βασιζόμενος σε αυτό το πολύ σημαντικό αποτέλεσμα, ο Turing έδειξε πως το entscheidungsproblem δεν λύνεται.
Ο Church είδε πως ο λογισμός λ μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για υπολογισμούς. Το ίδιο μπορούσε να συμβεί και με τη μηχανή Turing. Μάλιστα παρατήρησε πως και τα δύο εργαλεία υπολογίζουν ακέραιες συναρτήσεις που ανήκουν σε μια οικογένεια συναρτήσεων που ονομάζονται αναδρομικές. Έτσι έβγαλε το συμπέρασμα πως μόνο οι αναδρομικές συναρτήσεις είναι μηχανικά υπολογίσιμες. Αυτό το συμπέρασμα είναι γνωστό στη βιβλιογραφία απλά ως Αίτημα του Church ή ως Αίτημα των Church-Turing (εφεξής ΑCT).
Όπως ήταν φυσικό, από πολύ νωρίς ξέσπασε μια διαμάχη για το κατά πόσο το ACT είναι αληθές ή όχι. Πρώτος ο László Kalmár υποστήριξε ότι η κλάση των αναδρομικών συναρτήσεων είναι υπο-κλάση1 των συναρτήσεων που μπορούν να υπολογισθούν. Από την άλλη η Rózsa Péter υποστήριξε το ακριβές αντίθετο: ότι υπάρχουν αναδρομικές συναρτήσεις που δεν είναι υπολογίσιμες. Γεγονός είναι πως είναι τουλάχιστον παράλογο να υποθέσει κανείς πως η μηχανή Turing, οι αναδρομικές συναρτήσεις και ο λογισμός λ είναι οι μόνοι τρόποι υπολογισμού. Η αλήθεια είναι πως υπάρχουν και άλλες μέθοδοι υπολογισμού αλλά με τον έναν ή άλλο τρόπο «αποδεικνύεται» πως είναι, όσον αφορά της δυνατότητες τους, εντελώς ισοδύναμοι με τις μηχανές Turing. Η ουσία όμως είναι πως όλα αυτά τα υπολογιστικά μοντέλα αποτελούν παραλλαγή σε ένα θέμα καθώς, επί της ουσίας, δεν διαφέρουν. Υπάρχουν όμως μοντέλα τα οποία να διαφέρουν ουσιαστικά από τις μηχανές Turing;
Το 1965 ο Mark Gold και ο Hilary Putnam δημοσίευσαν ξεχωριστά δύο εργασίες οι οποίες διαπραγματευόταν ακριβώς το ίδιο πράγμα: της λεγόμενες μηχανές Turing «δοκιμής και λάθους» (trial-and-error Turing machines). Τούτες οι νοητές μηχανές εξάγουν το αποτέλεσμα τους κάνοντας οριακούς υπολογισμούς. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να εξετάσουμε αν ένας αριθμός ανήκει ή όχι σε ένα σύνολο, τότε μια τέτοια μηχανή θα τυπώσει μια σειρά από 1 (σημαίνει: ανήκει) και 0 (σημαίνει: δεν ανήκει) και η τελευταία απάντηση θα είναι σωστή. Αν σε μία δεδομένη στιγμή η μηχανή τυπώσει 1, τότε ξέρουμε πως το στοιχείο ανήκει στο σύνολο εκτός και αν η μηχανή αλλάξει και τυπώσει στη συνέχεια ένα 0. Δυστυχώς όμως δεν μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα πότε τερματίζει μια μηχανή «δοκιμής και λάθους»! Αυτό που κάνει πραγματικά ενδιαφέρουσες τις μηχανές «δοκιμής και λάθους» είναι η δυνατότητα τους να λύσουν το πρόβλημα τερματισμού, όπως έδειξε ο Peter Kugel. Μια νοητή μηχανή η οποία λειτουργεί με παρόμοιο τρόπο είναι οι λεγόμενες μηχανές ΤΑΕ που ορίσθηκαν από τους Jaakko Hintikka και Arto Mutanen. Έτσι έχουμε δύο τουλάχιστον υλοποιήσιμα μοντέλα υπολογισιμότητας τα οποία όμως ξεπερνούν τις δυνατότητες των μηχανών Turing.
Γενικότερα, η υπερυπλογισιμότητα είναι μια νέα σχετικά θεωρία η οποία αμφισβητεί ευθέως την ορθότητα του ACT. Παράλληλα υποστηρίζει πως πρακτικά τα όρια της υπολογισιμότητας δεν είναι γνωστά καθώς δεν είναι γνωστοί ούτε καν οι νόμοι που διέπουν τη λειτουργία του σύμπαντος! Επίσης, η υπερυπολογιμότητα υποστηρίζει πως το μυαλό του ανθρώπου, άρα και κατά συνέπεια το μυαλό κάθε ευφυούς όντος, έχει δυνατότητες υπολογιστικές, υπέρ-υπολογιστικές και παρά-υπολογιστικές. Το κίνημα της υπέρ-υπολογισιμότητας ξεκίνησε ο Βρετάνός φιλόσοφος B. Jack Copeland, ο οποίος είναι, εκτός των άλλων, μελετητής του έργου του Alan Turing. Μολονότι η ιδέα της υπερυπολογισιμότητας φαίνεται να έχει αντίκτυπο μόνο στη θεωρητική επιστήμη των Η/Υ. Η αλήθεια είναι πως έχει αντίκτυπο σχεδόν στα πάντα! Δυστυχώς, το λεγόμενο κίνημα της ψηφιακής φιλοσοφίας υποστήριζει πως τα πάντα μα τα πάντα είναι αποτέλεσμα υπολογιστικών δράσεων η οποίες φυσικά δεν ξεπερνούν τις δυνατότητες της μηχανής Turing. Η ιδέες του κινήματος αυτού είναι διάχυτες παντού: στην οικονομία, την κοινωνιολογία, τη φυσική κ.λπ. Έτσι ακόμη και το γεγονός ότι η Κατερίνα δεν ξέρει αν αγαπάει τον Απόστολο, ερμηνεύεται ως λάθος κάποιου υπολογισμού! Η υπερυπολογισιμότητα προσπαθεί να επιφέρει μια ισορροπία με την παραδοχή πως ο άνθρωπος είναι βιολογική μηχανή η οποία λειτουργεί και ως μηχανή Turing αλλά επιπλέον έχει δυνατότητες που πηγαίνουν πέρα από αυτή. Έτσι ο δρόμος για τη δημιουργία ευφυών μηχανών δεν κλείνει αλλά απλά απαιτείται πλέον ένας νέος τρόπος σκέψης και προσέγγισης του θέματος.
Το κύριο ερώτημα τούτου του κειμένου αφορά τα όρια της υπολογισιμότητας, δηλαδή το τι μπορούμε να επιτύχουμε υπολογιστικά. Η απάντηση μου είναι πως πολύ απλά δεν ξέρουμε! Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να διαβάσει περισσότερα για την υπερυπολογισιμότητα στο
«Hypercomputation: Computing Beyond the Church-Turing Barrier» του συγγραφέα που εκδόθηκε από την Springer το Σεπτέμβριο του 2008.
πηγή: Αντίφωνο
Αν και δεν μπορώ να πω πως ειμαι ιδιαίτερα εξοικειωμένος με τα παραπάνω θέματα θα έλεγα πως έχουν πολύ ενδιαφέρον. Ένα πολύ ενδιαφέρον βιβλίο πάντως που ασχολείται με την (μη-) υπολογισιμότητα των μαθηματικών είναι αυτό του Penrose, οι Σκιές του Νου (λίγο παλιό πλέον) που προσπαθεί μέσω από τα μαθηματικά και την φυσική να δείξει ότι η ανθρώπινη συνείδηση προκύπτει από μη υπολογιστικές διαδικασίες και έτσι δεν είναι δυνατόν να εξομοιωθεί. Αν και λίγο δύσκολο για όποιον δεν ειναι εξοικειωμένος, καταλήγει σε κάποιες πολύ ενδιαφέρουσες θέσεις/προτάσεις. Το συνιστώ σε όποιον ενδιαφέρεται για το πρόβλημα της συνείδησης ή/και την τεχνητή νοημοσύνη.
Η πρόταση του Roger Penrose είναι απλά η πεποίθηση ότι ΔΕΝ είναι δυνατόν να προσομοιώσουμε υπολογιστικά το μυαλό του ανθρώπου. Η ιδέα ανήκει στον John Lucas και ο Penrose τη δούλεψε στο βιβλίο του.
Όντως. Πάντως νομίζω πως το θέμα της υπολογιστικότητας αν και φαίνεται καθαρά θεωρητικό σήμερα, στο μέλλον θα μας απασχολήσει σε πολλούς τομείς.
Πάντως θα ήθελα να σας ρωτήσω σχετικά με την διαπίστωσή σας ότι «[quote]ο δρόμος για τη δημιουργία ευφυών μηχανών δεν κλείνει αλλά απλά απαιτείται πλέον ένας νέος τρόπος σκέψης και προσέγγισης του θέματος[/quote]».
Απο ότι καταλαβαίνω, θεωρείτε πως μέσω της υπερυπλογισιμότητας θα μπορούσαμε να έχουμε αυθεντική τεχνητή νοημοσύνη; – Που κατα μία άποψη προϋποθέτει το στοιχείο της συνείδησης. Και εν γένει, πώς θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε την θεωρία της υπερυπολογισιμήτητας πρακτικά;
Ευχαριστώ πολύ.
α.α.
Θεωρώ πως η συνείδηση δεν είναι ένα καθαρά υπολογιστικό φαινόμενο. Είναι ένα φαινόμενο μερικώς (υπερ-)υπολογιστικό και μερικώς παρα-υπολογιστικό. Από την άλλη, η αποδοχή των νέων αυτών ιδεών είναι σημαντική μιας και είναι σύμφωνη με την ιδέα ότι ἓν οἶδα ὅτι οὐδὲν οἶδα! Άρα βλέποντας τα πράγματα διαφορετικά, είναι σίγουρο πως θα έχουμε μεγαλύτερες επιτυχίες στον χώρο της Τ.Ε.
Απόστολε χαίρομαι που διαβάζω την παρέμβαση σου μετά από καιρό.
Από όλα τα ενδιαφέροντα όσα είπες θέλω μόνον να σταθώ στο τελευταίο ζήτημα περί “Ψηφιακής Φιλοσοφίας”.
Κατά τη γνώμη μου το πρόβλημα είναι πολύ δυσκολότερο από αυτό που παρουσίασες/παρουσιάζεται. Ο λόγος είναι βέβαια ότι οι οπαδοί της φιλοσοφίας αυτής δεν έχουν εμβαθύνει αρκετά.
Επειδή το ζήτημα είναι αρκετά λεπτό κ δυσνόητο, θα αναγκαστώ να περιοριστώ στις δικές μου θέσεις στις οποίες κατέληξα μετά από αρκετή έρευνα κ σκέψη.
α) Δεν είναι όλες οι Δυναμικές Λογισμοί κ δεν είναι όλοι οι Λογισμοί Δυναμικές.
β) Εφ’ όσον κάθε ον με πεπερασμένη μνήμη δεν μπορεί να περιέχει (στη μνήμη του) τίποτε περισσότερο από ένα υποσύνολο των ακεραίων δεν βλέπω σε τι βοηθά ο υπερ-υπολογισμός λαμβανόμενου υπ’ όψιν και του φράγματος του Planck που απαγορεύει οποιαδήποτε αναφορά σε αληθινά, δηλ. με φυσική ύπαρξη πραγματικούς αριθμούς.
γ) Η πραγματική υποσυνείδητη δυσκολία στο ζήτημα της ψηφιακής φιλοσοφίας είναι η παραδοχή ότι και ο άνθρωπος δεν είναι παρά μια “κατασκευή”, ένα “κατασκεύασμα” η ένα “ρομπότ” αν θέλεις.
δ) Όσον αφορά τα εσωτερικά κατασκευαστικά “σφάλματα” του ανθρώπινου νου, θα αρκούσε να δει κανείς τις πρόσφατες κοινωνικές εξελίξεις αλλά είναι προτιμότερη μια προσεκτική ανάγνωση του έργου του Dean Buonomano, “Brain Bugs”. http://www.amazon.com/Brain-Bugs-Brains-Flaws-Shape/dp/0393076024
ε) Σημαντικότερο ζήτημα από τον υπολογισμό η ακόμη και από την περίφημη “συνείδηση” είναι η βούληση. Σχετικά με την δυνατότητα αναπαραγωγής – κατασκευής μιας μορφής βουλήσεως μέσω μιας Τριαδικής Δυναμικής προσπάθησα να δείξω τα σχετικά σε αυτό το άρθρο http://vixra.org/abs/1012.0013.
στ) Το σημαντικό περί την βούληση είναι ότι αναγνωρίζεται (μετράται/παρατηρείται) μέσω της παραβίασης των κανόνων και όχι μέσω της αποδοχής τους.
ζ) Τέλος, η πορεία της παγκόσμιας βούλησης είναι η καθαυτό Νιτσεϊκή δυναμική για την οποία ο μεγάλος αυτός δάσκαλος στο τέλος λέγει “what is great in man is that he is a bridge and not an end.”
Omnia Trinitas Imperat
Ομολογώ πως το σημείο α) δεν το κατάλαβα! Επίσης, δεν ξέρω τι μπορεί να αποθηκευτεί στο μυαλό ενός όντος με πεπερασμένη μνήμη, αλλά στο δικό μου μυαλό χωράει μια χαρά και το ℵ_0 αλλά και το ℵ_1! Θέλω να πω πως άλλο πράγμα ο «αποθηκευτικός χώρος» μιας μηχανής και άλλο το μυαλό ενός ευφυούς όντος. Ας μην κάνουμε απλουστευτικές αναγωγές!
Για το θέμα της ελεύθερης βούλησης υπάρχουν αρκετές και ενδιαφέρουσες προσεγγίσεις. Νομίζω όμως δεν είναι αυτό το θέμα του άρθρου. Αν υπάρχει ενδιαφέρον, μπορώ εν καιρώ, να ετοιμάσω κάτι σχετικό.
Αν εξαιρέσουμε το (α) σαν υπερβολικά φιλοσοφικό για να το αναλύσουμε εδώ, όσον αφορά το ζήτημα της χωρητικότητας θα σου έλεγα ότι η απάντηση σου πάσχει από το εξής διαισθητικά απλό. Αυτό το “άλεφ” που ισχυρίζεσαι ότι χωρά στο νου σου είναι μόνο η εικόνα, το σύμβολο, η αναπαράσταση του. Όχι αυτό το ίδιο το συμβολιζόμενο απειροσύνολο. Για να σου δώσω ένα οπτικό παράδειγμα, και το σύνολο του Mandelbrot κατά κάποιο τρόπο βρίσκεται αποτυπωμένο στο μνήμη σου αλλά πόσο καλά μπορείς να κάνεις refine την εικόνα στη μνήμη σου? Πόσο βαθιά μπορεί ο νους σου να καταδυθεί στο σύνορο της εικόνας? Είναι δυνατόν να ισχυριστεί κανείς ότι οποιαδήποτε στιγμή μπορεί ο εγκέφαλος σου να κρατήσει ταυτόχρονα την άπειρη πληροφορία αυτού του συνόρου (κ δεν μιλώ για τον αναδρομικό συμβολισμό του αλλά γα την πραγματική εικόνα!) Μπορεί ποτέ να χωρέσει την ίδια χρονική στιγμή στο μυαλό οποιουδήποτε μια άπειρα μεγάλη εικόνα (εκτός εάν είναι Θεϊκό ον)!
Όσο για την βούληση, αυτό που ισχυρίστηκα ξεκάθαρα είναι ότι τεχνική που παραθέτω μου επιτρέπει να ανα-κατασκευάσω τύπους ρομπότ (ανθρωπο-μορφικούς η όχι) που θα επιδεικνύουν κάποια μορφή της. Θα είχε ενδιαφέρον εάν εσύ μπορείς να κρίνεις θεωρητικά εάν αυτό θα συμβεί η όχι. Απομένει βέβαια να δοκιμαστεί στην πράξη η προτεινόμενη αρχιτεκτονική (λίγο δύσκολο για την Ελληνική μη-βιομηχανία βέβαια!)
Ναι το ℵ_0 είναι μια αναπαράσταση αλλά με την ίδια λογική αναπαράσταση είναι και το 23456789012345! Επίσης, όσον αφορά το σύνολο του Mandelbrot, νομίζω πως όταν κανείς έχει στο μυαλό του τον τρόπο υπολογισμού του, τότε χρησιμοποιώντας εργαλεία μπορεί να κάνει διάφορα πράγματα. Ενώ ένας Η/Υ δεν μπορεί να κατασκευάσει εργαλεία και περιορίζεται από τις αντικειμενικές του «δυνατότητες». Με άλλα λόγια, οι δυνατότητες μας επεκτήνονται με τη χρήση εξωτερικών εργαλείων.
Επίσης νομίζω πως κάνεις ένα συστηματικό σφάλμα. Υπάρχουν προβλήματα που είναι recursively enumerable (δεν ξέρω την Ελληνική ορολογία). Για αυτά τα προβλήματα μπορούμε να κατασκευάσει έναν αλγόριθμο ο οποίος θα απαντάει με «ναι» αν κάτι υπακούει σε μία συνθήκη, αλλά θα αποπτυγχάνει αν δεν την υπακούει. Τέτοιο προβλήμαι είναι το θεώρημα του Fermat κ.λπ. Όμως ενώ δεν μπορούμε να δώσουμε αλγοριθμική λύση, εντούτοις δώσαμε, ως άνιθρωποι μαθηματική λύση. Βέβαια αφού δόθηκε η μαθηματική λύση, καποιοι «έξυπνοι» αποφάνθηκαν πως το πρόβλημα έχει και αλγοριθμική λύση! Φυσικά αυτό είναι λάθος και επαληθεύει την πεποίθηση ότι η λεγόμενη υπολογιστική προσέγγιση (computational paradigm) είναι λαθος.
Αγαπητέ Απόστολε
Φοβάμαι, πως το εποπτικό παράδειγμα μου δεν άρκεσε. Μάλλον θεώρησα αυτονόητες κάποιες διευκρινίσεις που είμαι υποχρεωμένος να κάνω τώρα. Όπως ίσως έχεις ακούσει, υπάρχει μια παλιά Αριστοτελική διάκριση ανάμεσα στο “Ενεστωτικό” (εδώ-και-τώρα!) Άπειρο και στο “Εν Δυνάμει Άπειρο”. Αυτό το οποίο αναφέρεσαι εσύ είναι το δεύτερο, το ανάλογο δηλ. όλων των σύγχρονων ορισμών που εμπεριέχουν εκφράσεις του τύπου “υπάρχει αριθμός μεγαλύτερος του προηγούμενου…κλπ”. Πλην όμως εγώ αναφέρομαι -νόμισα μετά συγχωρήσεως, σαφέστατα- στο πρώτο, δηλ. στην δυνατότητα άμεσης συγκράτησης στην μνήμη σου μιας “εδώ-κ-τώρα” άπειρης ποσότητας συμβόλων, πχ όλων των ψηφίων του π!
Επομένως, εάν αφαιρέσουμε το χρόνο, αυτό που απομένει είναι μια μνήμη αναγκαστικώς πεπερασμένη τη στιγμή Δt! Διότι, στην αντίθετη περίπτωση μόνον δύο τινά μπορούν να συμβαίνουν Α) Είτε διαθέτεις στον εγκέφαλο σου μια μηχανή τύπου Ζήνωνος (time singularity), Β) είτε διαθέτεις το ανάλογο μιας Μελανής Οπής! Και στις δύο περιπτώσεις λοιπόν θα είσαι αναγκαστικά Θεϊκό Ον (!)
Εάν όμως δεν διαθέτεις τίποτε από τα δυο και απλώς διαθέτεις την ικανότητα μιας ατέρμονης εκδιπλώσεως – εκδηλώσεως του Εν Δυνάμει Απείρου τότε είσαι Άνθρωπος κ δη Μαθηματικός. (Κ δεν υπονοώ καθόλου ότι το δεύτερο είναι λιγότερο σημαντικό!)
Επαναφέρω το εποπτικό μου παράδειγμα με άλλη μορφή. Έστω ότι δεχόμαστε προς στιγμήν, ότι ο εγκέφαλος μας αποτελείται (κατά την φυσική αναγκαιότητα που υποδεικνύουν οι σύγχρονες αντιλήψεις) από έναν κολοσσιαίο πλην όμως πεπερασμένο αριθμό κυψελίδων Planck. Πόση πληροφορία μπορεί να εγγραφεί σε κάθε κυψελίδα δηλ. ποιόν αριθμό Bits μπορούμε να έχουμε σε κάθε μια? Η ερώτηση αυτή είναι υπερ το δέον πονηρή -κ ίσως στα όρια των όσων γνωρίζουμε! Ο λόγος είναι ότι εξαρτάται από το τι θέλουμε να ανακαλέσουμε (retrieve) από αυτή την προσωρινή διάταξη. Και λέω προσωρινή διότι στην πραγματικότητα οι κυψελίδες αυτές πρέπει να εννοηθούν ως Voxels (4D pixels!) συμπεριλαμβανόμενου του χρόνου. Βεβαίως, σε μια τέτοια περίπτωση κάθε πράξη μέτρησης δεσμεύοντας έναν αριθμό Bits αποδεσμεύει ταυτόχρονα έναν εν δυνάμει άπειρο αριθμό bits ενός συμπληρωματικού του μεγέθους, πλην όμως άχρηστων διότι συνιστούν αβεβαιότητα (διαφθορά του “μηνύματος”). Έστω εν πάση περιπτώση ότι με βάση μια “πρότυπη” διαδικασία μέτρησης (ένα πρωτόκολλο στο οποίο συμφωνούμε από κοινού με άλλα λόγια) μπορούμε να πάρουμε μια “φωτογραφική” απεικόνιση της τρέχουσας κατάστασης της μνήμης μας στο έσχατο επιτρεπτό φυσικό όριο ανάλυσης ως προς κάποιο οποιοδήποτε προκαθορισμένο “χρήσιμο” παρατηρήσιμο μέγεθος (4D Space-Time Voxel Tomography!). Αμφιβάλλεις ότι αυτή θα περιείχε αναγκαστικά έναν πεπερασμένο αριθμό Bits κ επομένως – με βάση την πολυωνυμική απεικόνιση των ακεραίων- θα αντιστοιχούσε ανά πάσα στιγμή σε κάποιον πολύ μεγάλο ακέραιο?
Η αν επανέλθω στο παράδειγμα της εικόνας του Mandelbrot, από την “Ενεστωτική” άποψη, κάθε τέτοια εικόνα που θα μπορούσες να δεις “ταυτόχρονα” μέσα στην ίδια σου τη μνήμη μπορεί άνετα να αναπαρασταθεί ως ένας μεγάλος πίνακας ακεραίων όπως ακριβώς κ σε κάθε πρόγραμμα επεξεργασίας κ ανάλυσης εικόνας. Επομένως δεν είναι τίποτε περισσότερο από έναν ορμαθό ακεραίων, δηλ. ένα bit stream.
Είναι δυνατόν όμως να συγκρατήσεις την ίδια στιγμή έναν άπειρο ορμαθό που θα αντιστοιχούσε στην πλήρη ανάλυση κάθε λεπτομέρειας αυτής της αναδρομικής εικόνας? Φαντάζομαι πως όχι!
Ο λόγος πίσω από αυτό το πρόβλημα της “Ενεστωτικής” ερμηνείας είναι πάρα πολύ πιο σοβαρός από ότι φαίνεται. Έχει δε να κάνει με το κρίσιμο ζήτημα που έθεσε πρώτος ο Otto Roessler στην περίφημη Ενδοφυσική, περί της έλλειψης ενός κατάλληλου ορισμού ενός “Φυσικά Αποδεκτού Παρατηρητή” (ΦΑΠ) – “Physically Admissible Observer” (PAO). Είχα δε μια συζήτηση με τον Roessler το 2000 σχετικά με το πόσο σοβαρή μπορεί να είναι μια τέτοια έλλειψη σε όλες εκείνες τις φυσικές θεωρίες όπου εισάγεται ο παρατηρητής ως ένα τέλεια αποστασιοποιημένο, θεϊκό ον ενώ δεν είναι! Θέλησα να διορθώσω αυτή την έλλειψη υιοθετώντας τον δικό μου (προσωρινό κ για την ώρα χρήσιμο) ορισμό ενός Εσωτερικού Παρατηρητή (Inneren Beobachter)
“Ένας ΕΠ θα ονομάζεται ΦΑ εάν κ εφ’ όσον
Α) η συνολική μνήμη του είναι πάντοτε (δηλ. ανά πάσα στιγμή) ισοδύναμη με κάποιο υποσύνολο του συνόλου των ακεραίων.
Β) μια ορισμένη διαστατικότητα (τοπολογία) έχει επαχθεί (hard-wired) σε αυτόν.”
Το δεύτερο σημείο μάλιστα είναι πιο δύσκολο από το πρώτο αλλά απολύτως αναγκαίο διότι από μια άποψη όλα τα διακριτά σύμπαντα ενός τέτοιου παρατηρητή θα μπορούσαν να έχουν πάντα ένα μονοδιάστατο ισοδύναμο! Είναι όταν τοποθετεί κανείς ένα σμήνος τέτοιων παρατηρητών που αλλάζει το πράγμα αλλά αυτό είναι μια άλλη μεγάλη ιστορία για να την πούμε από εδώ. Αλλά για την ώρα, επείγει κατά τη γνώμη μου η κατανόηση της αναγκαιότητας ενός κάποιου ορισμού τέλος πάντων! Ελπίζω ότι αποσαφήνισα με τα παραπάνω τι ακριβώς ήθελα να πω.
φιλικά
Δεν θέλω να επεκταθώ πολύ αλλά θεωρώ πως αυτό που ουσιαστικά ζητάς είναι αν υπάρχει η δυνατότητα ενός super-task. Λοιπόν το ενδιαφέρον είναι πως ένας χωροχρόνος τύπου Malament–Hogarth (M-H) επιτρέπει super-tasks. Έτσι, για παράδειγμα, το πρόβλημα του Wittgenstein «υπάρχουν τρία διαδοχικά εφτάρια στην δεκαδική αναπαράσταση του π» μπορεί κάλλιστα να λυθεί σε έναν χωροχρόνο M-H. Απλά τώρα δεν διαθέτουμε την ανάλογη τεχνολογία για να λύσουμε τούτο το πρόβλημα.
Αγαπητέ Απόστολε
Τα περί M-H Space-Times τα γνωρίζω από τότε περίπου που βγήκαν τα σχετικά papers τα οποία βέβαια δεν με έπεισαν απόλυτα ότι δεν αποτελούν παραδείγματα ατελειών στις Σχετικιστικές θεωρίες. Σχετικά σχολιάζω εδώ
http://cag.dat.demokritos.gr/Observer.php
Ωστόσο δεν ρώτησα αυτό! Συγκεκριμένα λοιπόν ερωτώ εάν και κατά πόσον συμφωνείς με τον ορισμό του “Φυσικά Αποδεκτού Παρατηρητή” (αποδεκτού δηλ. από τις φυσικές θεωρίες που έχουμε) όπως τον εξέθεσα στην προηγούμενη μου ερώτηση.
Εάν όχι, πιστεύεις πραγματικά ότι ο δικός σου τουλάχιστον εγκέφαλος είναι ικανός να αντεπεξέλθει σε ένα super-task?
Θα ξεκινήσω ανάποδα: αλήθεια έχεις δει ποτέ σου τον Κρόνο; Δεν λέω αν τον έχεις δει είτε σε φωτογραφίες είτε με κάποιο τηλεσκόπιο, λέω απλά αν τον έχεις δει με τα μάτια σου. Πολύ πιθανά η απάντηση είναι όχι. Όμως τα διάφορα μηχανήματα τα οποία χρησιμοποιούμε ως άνθρωποι λειτουργούν ως υποστηρικτικά των αισθήσεων μας αλλά και των διανοητικών μας δυνατοτήτων. Έτσι ο εγκέφαλος μας μπορεί να υποβοηθάτε από έναν Η/Υ ή άλλες συσκευές. Αν λοιπόν υπάρχουν συσκευές που μπορούν να κάνουν την όποια προεργασία (preprocessing) απαιτείται, τότε δεν βλέπω τον λόγο για τον οποίο να μην μπορεί ο εγκέφαλος μου να ανταπεξέλθει σε ένα super-task! Νομίζω πως πρέπει να έχουμε ανοικτούς ορίζοντες καθώς δεν γνωρίζουμε τίποτα απολύτως για την πραγματική φύση πάρα μα πάρα πολλών πραγμάτων.